যারা HSC Higher Math 2nd Paper CQ অনুশীলনের জন্য পূর্ণাঙ্গ প্রশ্নপত্র খুঁজছ, তাদের জন্য এখানে উচ্চতর গণিত ২য় পত্রের তিনটি আলাদা মডেল প্রশ্নপত্র রাখা হলো। প্রতিটি সেটে ক-বিভাগে বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি থেকে চারটি এবং খ-বিভাগে কণিক, বলবিদ্যা, বিস্তার ও সম্ভাবনা থেকে চারটি প্রশ্ন আছে; প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে দুটি নিয়ে মোট পাঁচটির উত্তর দিতে হবে। সময় দুই ঘণ্টা দশ মিনিট, পূর্ণমান পঞ্চাশ।
প্রশ্নগুলোর সংখ্যা এমনভাবে বাছাই করা হয়েছে যাতে প্রতিটি হিসাব শেষ পর্যন্ত মেলে: যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান, সমীকরণের মূল, সম্ভাবনা আর লব্ধি বলের মান সবই পাঠ্যবইয়ের পদ্ধতিতে বের করা যায়। লেখচিত্রের প্রশ্নের জন্য ছক কাগজ আর একটি স্কেল হাতের কাছে রাখো।
সৃজনশীল প্রশ্ন: ৩টি পূর্ণাঙ্গ সেট
নিচের ট্যাব থেকে সেট বেছে নাও। প্রতিটি সেট একটি সম্পূর্ণ প্রশ্নপত্র; ঘড়ি ধরে একেক দিনে একেকটি সেট দিয়ে মডেল টেস্ট দাও।
ক-বিভাগ: বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে দুইটি করে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
একটি ক্ষুদ্র কারখানা দুই ধরনের ব্যাগ $A$ ও $B$ তৈরি করে। প্রতিটি $A$ ব্যাগ কাটতে ২ ঘণ্টা ও সেলাই করতে ১ ঘণ্টা লাগে; প্রতিটি $B$ ব্যাগ কাটতে ১ ঘণ্টা ও সেলাই করতে ৩ ঘণ্টা লাগে। সপ্তাহে কাটার কাজে সর্বোচ্চ ৪০ ঘণ্টা এবং সেলাইয়ের কাজে সর্বোচ্চ ৪৫ ঘণ্টা সময় পাওয়া যায়। প্রতিটি $A$ ব্যাগে ১৫০ টাকা ও প্রতিটি $B$ ব্যাগে ২০০ টাকা মুনাফা হয়।
- ক.(ক) $\lvert 3x - 2 \rvert \le 7$ অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় করে সংখ্যারেখায় দেখাও।২
- খ.(খ) উদ্দীপকের সমস্যাটিকে একটি যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম আকারে প্রকাশ করো এবং লেখচিত্রের সাহায্যে কারখানাটির সর্বোচ্চ সাপ্তাহিক মুনাফা ও সেজন্য প্রতিটি ব্যাগের সংখ্যা নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $B$ ব্যাগপ্রতি মুনাফা বেড়ে ৫০০ টাকা হলে সর্বোত্তম উৎপাদন পরিকল্পনা কি বদলাবে? $B$ ব্যাগের মুনাফা কত টাকার বেশি হলে কেবল $B$ ব্যাগ তৈরি করাই লাভজনক, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
দুটি জটিল সংখ্যা $z_1 = 1 + \sqrt{3}\,i$ এবং $z_2 = \sqrt{3} - i$।
- ক.(ক) $-5 + 12i$ এর বর্গমূল নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $z_1 z_2$ এবং $\dfrac{z_1}{z_2}$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) আর্গান্ড চিত্রে মূলবিন্দু $O$, $z_1$, $z_1 + z_2$ ও $z_2$ বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি কী ধরনের তা বিশ্লেষণ করো এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
$2x^2 - 5x + 1 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$। অপর একটি ত্রিঘাত সমীকরণ $x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0$।
- ক.(ক) $(1 + x)^{10}$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) নিশ্চায়কের সাহায্যে উদ্দীপকের দ্বিঘাত সমীকরণটির মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় করো এবং যে সমীকরণের মূলদ্বয় $\dfrac{1}{\alpha^2}$ ও $\dfrac{1}{\beta^2}$, তা নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলগুলো গুণোত্তর ধারায় আছে জেনে সমীকরণটি সমাধান করো এবং মূল-সহগ সম্পর্ক ব্যবহার করে মূলগুলোর বর্গের সমষ্টির মান যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ একটি ত্রিকোণমিতিক রাশি।
- ক.(ক) প্রমাণ করো: $\tan^{-1}\dfrac{1}{2} + \tan^{-1}\dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{4}$২
- খ.(খ) $f(\theta) = \sqrt{2}$ সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $0 \le \theta \le 2\pi$ ব্যবধিতে $f(\theta) = 1$ সমীকরণটি সমাধান করো এবং দেখাও যে $f(\theta) = k$ সমীকরণের বাস্তব সমাধান থাকার জন্য $-2 \le k \le 2$ হওয়া আবশ্যক।৪
খ-বিভাগ: কণিক, বলবিদ্যা, বিস্তার ও সম্ভাবনা
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি কণিকের সমীকরণ $9x^2 + 25y^2 = 225$।
- ক.(ক) $y^2 = 12x$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) উদ্দীপকের কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় করে চিত্রে দেখাও।৪
- গ.(গ) পরামিতিক স্থানাঙ্ক $(5\cos\theta,\ 3\sin\theta)$ ব্যবহার করে দেখাও যে কণিকটির যেকোনো বিন্দু থেকে উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমষ্টি এর বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
একটি বস্তুকণার উপর $3$ N ও $5$ N মানের দুটি বল পরস্পর $120^\circ$ কোণে ক্রিয়া করে। অন্য একটি পরীক্ষায় $10$ kg ভরের একটি বস্তু দুটি হালকা রশির সাহায্যে ঝোলানো আছে; রশি দুটি উল্লম্ব রেখার দুই পাশে যথাক্রমে $30^\circ$ ও $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে এবং বস্তুটি সাম্যাবস্থায় আছে।
- ক.(ক) সমান মানের দুটি বলের লব্ধি তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, দেখাও।২
- খ.(খ) উদ্দীপকের প্রথম বল দুটির লব্ধির মান ও $5$ N বলের সাথে এর দিক নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে রশি দুটির টান নির্ণয় করো ($g = 9.8$ m/s$^2$) এবং বস্তুর ওজন বাড়াতে থাকলে কোন রশিটি আগে ছিঁড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা বেশি, যুক্তিসহ বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
খেলার মাঠে ভূমি থেকে একটি বল $49$ m/s বেগে অনুভূমিকের সাথে $30^\circ$ কোণে ছোড়া হলো। নিক্ষেপ বিন্দু থেকে $200$ m দূরে $15$ m উঁচু একটি দেয়াল আছে। ($g = 9.8$ m/s$^2$)
- ক.(ক) প্রক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ শূন্য হয় না কেন, ব্যাখ্যা করো।২
- খ.(খ) বলটির সর্বাধিক উচ্চতা ও উড্ডয়নকাল নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) বলটি দেয়ালটি অতিক্রম করতে পারবে কি না যাচাই করো এবং একই বেগে কোন কোণে ছুড়লে বলটি সর্বাধিক অনুভূমিক দূরত্ব অতিক্রম করবে, তা বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
একটি থলিতে ৫টি লাল, ৪টি সাদা ও ৩টি কালো বল আছে। থলি থেকে দৈবভাবে ৩টি বল তোলা হলো।
- ক.(ক) $2, 4, 6, 8, 10$ সংখ্যাগুলোর পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) তোলা তিনটি বলই ভিন্ন ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) বলগুলো একটি একটি করে প্রতিস্থাপনসহ তোলা হলে এবং প্রতিস্থাপন ছাড়া তোলা হলে অন্তত একটি লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো; কোন ক্ষেত্রে সম্ভাবনা বেশি এবং কেন, বিশ্লেষণ করো।৪
ক-বিভাগ: বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে দুইটি করে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
$f(x) = \lvert 2x - 3 \rvert$ এবং $g(x) = x + 1$। এছাড়া একটি অসমতা ব্যবস্থা: $2x + 3y \le 12$, $y \le x + 1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$।
- ক.(ক) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $a$ ও $b$ এর জন্য প্রমাণ করো: $\lvert a + b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$২
- খ.(খ) $f(x) < g(x)$ অসমতাটি সমাধান করো এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।৪
- গ.(গ) উদ্দীপকের অসমতা ব্যবস্থার লেখচিত্র এঁকে সমাধান অঞ্চলের শীর্ষবিন্দুগুলো নির্ণয় করো এবং ওই অঞ্চলে $z = x + 2y$ এর সর্বোচ্চ মান ও তা কোন বিন্দুতে পাওয়া যায়, নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
দুটি দ্বিপদী রাশি $\left(2x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^{9}$ এবং $(1 - 3x)^{-\frac{1}{3}}$।
- ক.(ক) দ্বিতীয় রাশিটির বিস্তৃতি কোন শর্তে বৈধ তা উল্লেখ করে বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) প্রথম রাশিটির বিস্তৃতিতে $x$ বর্জিত পদটি নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) প্রথম রাশিটির বিস্তৃতির মধ্যপদদ্বয় নির্ণয় করো এবং মধ্যপদদ্বয়ের মান সমান হলে $x$ এর বাস্তব মান নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
$\omega$ এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল। $P = 1 - \omega + \omega^2$ এবং $Q = 1 + \omega - \omega^2$।
- ক.(ক) $x^2 - 4x + 13 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) প্রমাণ করো: $P^5 + Q^5 = 32$৪
- গ.(গ) দেখাও যে $P$ ও $Q$ সমীকরণ $x^3 + 8 = 0$ এর দুটি মূল; তিনটি মূল আর্গান্ড চিত্রে একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু গঠন করে কি না বিশ্লেষণ করো এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
$y = \sin^{-1}x$ একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং $2\sin^2\theta + 3\cos\theta = 0$ একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
- ক.(ক) প্রমাণ করো: $\sin^{-1}\dfrac{3}{5} + \sin^{-1}\dfrac{8}{17} = \sin^{-1}\dfrac{77}{85}$২
- খ.(খ) $0 \le \theta \le 2\pi$ ব্যবধিতে উদ্দীপকের সমীকরণটি সমাধান করো।৪
- গ.(গ) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো এবং একই অক্ষে $y = \sin x$ $\left(-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}\right)$ ও $y = \sin^{-1}x$ এর লেখচিত্র এঁকে এদের পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ করো।৪
খ-বিভাগ: কণিক, বলবিদ্যা, বিস্তার ও সম্ভাবনা
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ $16x^2 - 9y^2 = 144$।
- ক.(ক) উদ্দীপকের অধিবৃত্তের অসীমতট দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, নিয়ামক রেখাদ্বয় এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) উদ্দীপকের অধিবৃত্তের ধনাত্মক $x$ অক্ষের উপকেন্দ্রটিকে উপকেন্দ্র, $x = 1$ রেখাকে নিয়ামক এবং $e = 2$ কে উৎকেন্দ্রিকতা ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো; নতুন অধিবৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় করে দুটি অধিবৃত্তের তুলনা বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
একটি বিন্দু $O$ তে $P$, $2P$ ও $3P$ মানের তিনটি বল ক্রিয়া করে। বল তিনটি এমন দিকে ক্রিয়াশীল যে প্রত্যেক বল তার পরের বলের সাথে $120^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে ($P$ থেকে $2P$, $2P$ থেকে $3P$ একই ঘূর্ণন দিকে)।
- ক.(ক) $20$ N মানের একটি বলকে এমন দুটি পরস্পর লম্ব অংশকে বিভক্ত করো, যার একটি বলটির সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।২
- খ.(খ) উদ্দীপকের বল তিনটির লব্ধির মান ও $P$ বলের দিকের সাথে এর দিক নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) বস্তুকণাটিকে সাম্যাবস্থায় রাখতে কত মানের বল কোন দিকে প্রয়োগ করতে হবে? প্রতিটি বলের সাথে একই মান $Q$ যোগ করা হলে লব্ধির কী পরিবর্তন হবে, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
একটি সোজা রাস্তায় একটি গাড়ি $10$ m/s আদিবেগে ও $2$ m/s$^2$ সমত্বরণে চলতে শুরু করল। ঠিক একই মুহূর্তে একই স্থান থেকে দ্বিতীয় একটি গাড়ি $20$ m/s সমবেগে একই দিকে যাত্রা করল।
- ক.(ক) দেখাও যে সমত্বরণে চলমান কণার $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $u + \dfrac{a}{2}(2t - 1)$।২
- খ.(খ) প্রথম গাড়িটি পঞ্চম সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করে এবং যাত্রার $10$ সেকেন্ড পর এর বেগ কত হয়, নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) যাত্রার কত সময় পর এবং কত দূরত্বে গাড়ি দুটি আবার পাশাপাশি হবে তা নির্ণয় করো; এর আগে তাদের মধ্যে সর্বাধিক ব্যবধান কত হবে, বেগ-সময় লেখচিত্রের সাহায্যে বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
একটি কোচিং সেন্টারের ৩০ জন শিক্ষার্থীর মডেল টেস্টের নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন:
| নম্বর | ০–১০ | ১০–২০ | ২০–৩০ | ৩০–৪০ | ৪০–৫০ |
|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষার্থী সংখ্যা | ৪ | ৬ | ১০ | ৬ | ৪ |
- ক.(ক) দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে অন্তত একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা $\dfrac{3}{4}$, ব্যাখ্যা করো।২
- খ.(খ) উদ্দীপকের নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) শিক্ষার্থীদের মধ্য থেকে প্রতিস্থাপন ছাড়া দৈবভাবে দুজনকে বাছাই করলে দুজনেরই নম্বর ৩০ এর কম হওয়ার এবং অন্তত একজনের নম্বর ৩০ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো; ঘটনা দুটির সম্পর্ক বিশ্লেষণ করো।৪
ক-বিভাগ: বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে দুইটি করে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
একজন খামারি মুরগির জন্য দুই ধরনের খাদ্য $F_1$ ও $F_2$ মিশিয়ে দেন। প্রতি কেজি $F_1$ এ ৩ একক আমিষ ও ১ একক ভিটামিন থাকে, দাম ৪০ টাকা; প্রতি কেজি $F_2$ এ ১ একক আমিষ ও ২ একক ভিটামিন থাকে, দাম ৩০ টাকা। প্রতিদিন খামারের জন্য কমপক্ষে ৯ একক আমিষ ও ৮ একক ভিটামিন প্রয়োজন।
- ক.(ক) যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামে সম্ভাব্য সমাধান অঞ্চল ও সর্বোত্তম সমাধান বলতে কী বোঝায়?২
- খ.(খ) উদ্দীপকের তথ্যগুলোকে ন্যূনতম খরচের একটি যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম আকারে লেখো এবং লেখচিত্রের সাহায্যে খামারির দৈনিক ন্যূনতম খরচ ও প্রতিটি খাদ্যের পরিমাণ নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $F_2$ এর দাম কমে প্রতি কেজি ১২ টাকা হলে ন্যূনতম খরচ ও খাদ্যের সংমিশ্রণ কী হবে? $F_2$ এর দাম কত টাকার নিচে নামলে শুধু $F_2$ কেনাই সবচেয়ে সাশ্রয়ী, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
$x^3 - px^2 + qx - r = 0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha$, $\beta$, $\gamma$। একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে সমীকরণটি $x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0$।
- ক.(ক) $k$ এর কোন মানগুলোর জন্য $kx^2 + 6x + 3 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হবে, নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0$ সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর ধারায় আছে জেনে সমীকরণটি সমাধান করো।৪
- গ.(গ) $p$, $q$, $r$ এর মাধ্যমে $\sum \alpha^2\beta^2$ ও $\sum \dfrac{1}{\alpha}$ এর মান নির্ণয় করো এবং উদ্দীপকের নির্দিষ্ট সমীকরণের মূলগুলো দিয়ে ফলাফল দুটি যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
$f(x) = \dfrac{1}{(1 - x)(1 - 2x)}$ একটি মূলদ ভগ্নাংশ ফাংশন।
- ক.(ক) $\dfrac{1 + i}{1 - i}$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $f(x)$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে এর বিস্তৃতিতে $x^r$ এর সহগ নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) বিস্তৃতির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি ব্যবহার করে $f(0.1)$ এর আসন্ন মান নির্ণয় করো এবং প্রকৃত মানের সাথে তুলনা করো; $x = 0.6$ এর জন্য এই বিস্তৃতি কেন প্রযোজ্য নয়, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
$A = \tan^{-1}\dfrac{1}{3}$, $B = \tan^{-1}\dfrac{1}{7}$ এবং $\sin 2\theta = \cos\theta$ একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
- ক.(ক) $\lvert x - 1 \rvert < 3$ অসমতাটির সমাধান সেট ব্যবধি আকারে লিখে সংখ্যারেখায় দেখাও।২
- খ.(খ) প্রমাণ করো: $2A + B = \dfrac{\pi}{4}$৪
- গ.(গ) $0 \le \theta \le 2\pi$ ব্যবধিতে উদ্দীপকের সমীকরণটি সমাধান করো এবং দেখাও যে সমীকরণের উভয় পক্ষকে $\cos\theta$ দ্বারা ভাগ করে সমাধান করলে কোন সমাধানগুলো হারিয়ে যায় ও কেন।৪
খ-বিভাগ: কণিক, বলবিদ্যা, বিস্তার ও সম্ভাবনা
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ $y^2 - 4y - 8x + 20 = 0$। অন্যদিকে একটি সেতুর নিচের খিলানটি পরাবৃত্তাকার; খিলানের ভিত্তি ২৪ m চওড়া এবং মাঝখানে এর উচ্চতা ৯ m।
- ক.(ক) $y^2 = 8x$ পরাবৃত্তের যে বিন্দুর কোটি $8$, তার উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) উদ্দীপকের পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা, নিয়ামক রেখা ও উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) খিলানের শীর্ষবিন্দুকে সুবিধাজনক স্থানে ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় করো এবং ভিত্তির এক প্রান্ত থেকে ৪ m ভেতরে খিলানের উচ্চতা বের করো; ৮ m চওড়া ও ৬ m উঁচু একটি ট্রাক খিলানের ঠিক মাঝ বরাবর চলে যেতে পারবে কি না, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
একটি বস্তুকণার উপর $P$ ও $Q$ $(P > Q)$ মানের দুটি বল বিভিন্ন কোণে ক্রিয়া করতে পারে। বল দুটির লব্ধির বৃহত্তম মান $17$ N এবং ক্ষুদ্রতম মান $7$ N।
- ক.(ক) দুটি বলের লব্ধির মান বলদ্বয়ের মানের যোগফলের চেয়ে বেশি হতে পারে না কেন, ব্যাখ্যা করো।২
- খ.(খ) বল দুটির মান নির্ণয় করো এবং বল দুটি পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) বল দুটির অন্তর্গত কোণ কত হলে লব্ধি ক্ষুদ্রতর বলের উপর লম্ব হবে এবং তখন লব্ধির মান কত? লব্ধি বৃহত্তর বলের উপর লম্ব হওয়া সম্ভব কি না, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
$98$ m উঁচু একটি টাওয়ারের চূড়া থেকে একটি পাথর স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো। ঠিক একই মুহূর্তে টাওয়ারের পাদদেশ থেকে আরেকটি পাথর $49$ m/s বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। ($g = 9.8$ m/s$^2$)
- ক.(ক) খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর উত্থানকাল ও পতনকাল সমান, দেখাও।২
- খ.(খ) পাথর দুটি কখন এবং ভূমি থেকে কত উচ্চতায় মিলিত হবে, নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) দ্বিতীয় পাথরটি সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় ওঠে এবং মিলনের মুহূর্তে সেটি উপরে উঠছিল না নিচে নামছিল, নির্ণয় করো; টাওয়ারের উচ্চতা কোন সীমার মধ্যে থাকলে পাথর দুটি দ্বিতীয় পাথরের নামার সময় মিলিত হবে, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। ঘটনা $A$: দুই ছক্কায় ওঠা সংখ্যার যোগফল $8$; ঘটনা $B$: অন্তত একটি ছক্কায় $3$ ওঠে।
- ক.(ক) $3, 5, 7, 9, 11$ সংখ্যাগুলোর ভেদাংক নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap B)$ এবং $P(A \cup B)$ নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $A$ ও $B$ ঘটনা দুটি পরস্পর বর্জনশীল বা স্বাধীন কি না, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P(A \mid B)$ নির্ণয় করে বিশ্লেষণ করো।৪
প্রস্তুতির কৌশল
- যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের প্রশ্নে প্রথমে চলক ঠিক করো, তারপর শর্তগুলো অসমতায় লেখো; লেখচিত্রে প্রতিটি রেখা অক্ষকে কোথায় ছেদ করে তা চিহ্নিত করো এবং প্রতিটি কৌণিক বিন্দুতে অভীষ্ট ফাংশনের মান একটি ছকে বসিয়ে তুলনা করো।
- জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট নির্ণয়ে বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে আছে আগে দেখে নাও; শুধু $\tan^{-1}\frac{y}{x}$ লিখলে দ্বিতীয় ও তৃতীয় চতুর্ভাগে ভুল হয়। $\omega$ এর প্রশ্নে $1 + \omega + \omega^2 = 0$ ও $\omega^3 = 1$ ব্যবহার করে রাশি আগে সরল করো।
- ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে উভয় পক্ষকে কোনো চলকযুক্ত রাশি দিয়ে ভাগ করবে না; উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো। নির্দিষ্ট ব্যবধির প্রশ্নে সাধারণ সমাধান থেকে $n$ এর মান বসিয়ে ব্যবধির সব সমাধান খুঁজে নাও।
- কণিকের প্রশ্নে সমীকরণকে আদর্শ আকারে এনে $a$, $b$ ও $e$ আলাদা করে লেখো; উপবৃত্তে $b^2 = a^2(1 - e^2)$ এবং অধিবৃত্তে $b^2 = a^2(e^2 - 1)$, এ দুটি গুলিয়ে ফেলা সবচেয়ে সাধারণ ভুল।
- বলবিদ্যা ও গতিবিদ্যায় প্রতিটি প্রশ্নে একটি চিত্র আঁকো, ধনাত্মক দিক ঠিক করো এবং এককসহ উত্তর লেখো। লামির উপপাদ্যে প্রতিটি বলের বিপরীতে অপর দুই বলের অন্তর্গত কোণ নিতে হয়।
- সম্ভাবনায় নমুনাক্ষেত্র আগে গুনে নাও, আর প্রতিস্থাপনসহ ও প্রতিস্থাপন ছাড়া তোলার পার্থক্য মনে রাখো। বিভাগ বেছে নেওয়ার সময় প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে দুটি প্রশ্ন নেওয়ার নিয়ম ভুলবে না; প্রতিটি প্রশ্নে গড়ে পঁচিশ মিনিট সময় রাখো।
আরও প্রশ্ন দরকার?
লেসনকিটস-এ তুমি বা তোমার শিক্ষক উচ্চতর গণিতের যেকোনো অধ্যায় বেছে এমন সৃজনশীল প্রশ্ন বা পূর্ণাঙ্গ প্রশ্নপত্র তৈরি করতে পারেন, উত্তরসহ এবং প্রিন্ট করার উপযোগী করে। এখনই প্রশ্ন তৈরি করুন
0 টি মন্তব্য
মন্তব্য করতে লগইন করুন।