পরিসংখ্যান ২য় পত্রের প্রায় প্রতিটি প্রশ্নেই হিসাব কষতে হয়: বলের বাক্স থেকে সম্ভাবনা, সারণি থেকে প্রত্যাশা, দ্বিপদী ও পৈঁসু বিন্যাসের মান, z-স্কোর থেকে ক্ষেত্রফল, সূচক সংখ্যা আর জন্মহার-মৃত্যুহার। HSC Statistics 2nd Paper CQ অনুশীলনের জন্য এখানে তিনটি সম্পূর্ণ প্রশ্নপত্র সাজানো হলো; প্রতিটিতে আটটি সৃজনশীল প্রশ্ন, উত্তর দিতে হবে যেকোনো পাঁচটির, সময় দুই ঘণ্টা দশ মিনিট। প্রশ্নের সংখ্যাগুলো এমনভাবে বাছাই করা, যাতে হিসাব পরিষ্কারভাবে মেলে এবং ক্যালকুলেটর হাতে বসলেই মডেল টেস্ট দেওয়া যায়।
যেসব প্রশ্নে আদর্শ পরিমিত সারণি বা $e^{-m}$ এর মান লাগবে, সেগুলো উদ্দীপকেই দেওয়া আছে। শিক্ষকেরা চাইলে একেকটি সেট শ্রেণি পরীক্ষা হিসেবে প্রিন্ট করে নিতে পারেন।
সৃজনশীল প্রশ্ন: ৩টি পূর্ণাঙ্গ সেট
ট্যাব থেকে একটি সেট বেছে নাও। প্রতিটি সেট আলাদা একটি পূর্ণ প্রশ্নপত্র; প্রতিটি হিসাবের ধাপ ও সূত্র খাতায় দেখিয়ে লেখো।
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। যেকোনো পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
একটি বাক্সে ৫টি সাদা, ৩টি লাল ও ২টি কালো বল আছে। পরিসংখ্যান শিক্ষক প্রথমে বাক্স থেকে দৈবভাবে একসাথে তিনটি বল তুললেন। এরপর বলগুলো ফেরত রেখে তিনি দুটি ভিন্ন পদ্ধতিতে পরপর দুটি বল তুললেন: একবার প্রথম বলটি ফেরত রেখে (প্রতিস্থাপনসহ), আরেকবার ফেরত না রেখে (প্রতিস্থাপন ছাড়া)।
- ক.(ক) নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?১
- খ.(খ) "দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা স্বাধীন হতে পারে না"—ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) একসাথে তোলা তিনটি বল তিন ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) প্রথম বলটি সাদা ও দ্বিতীয়টি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কোন পদ্ধতিতে বেশি? দুটি ক্ষেত্রে ঘটনা দুটির নির্ভরশীলতার আলোকে বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
একটি ফটোকপির দোকানে প্রতি ঘণ্টায় মেশিন বিকল হওয়ার সংখ্যা $X$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস নিচে দেওয়া হলো:
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(x)$ | $k$ | $2k$ | $3k$ | $3k$ | $k$ |
- ক.(ক) বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কী?১
- খ.(খ) অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের ক্ষেত্রে $P(X = a) = 0$ হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) $k$ এর মান নির্ণয় করে $P(1 \le X < 3)$ বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) $X$ এর বিন্যাস ফাংশন $F(x)$ নির্ণয় করো এবং $P(X > 2) = 1 - F(2)$ সম্পর্কটি যাচাই করে বিন্যাস ফাংশনের বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
বৈশাখী মেলায় একটি খেলায় একজন খেলোয়াড় একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করেন। ছক্কায় ৬ উঠলে তিনি ৩০ টাকা পান, ৪ বা ৫ উঠলে ১২ টাকা পান এবং ১, ২ বা ৩ উঠলে ১৪ টাকা হারান। খেলায় অংশ নিতে প্রতিবার ৫ টাকা ফি দিতে হয়। আয়োজক দাবি করেন, "খেলাটি সম্পূর্ণ ন্যায্য।"
- ক.(ক) গাণিতিক প্রত্যাশা কাকে বলে?১
- খ.(খ) "ধ্রুবকের ভেদাংক শূন্য"—ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) ফি বাদে খেলোয়াড়ের প্রত্যাশিত লাভ ও লাভের ভেদাংক নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) ফি বিবেচনায় নিয়ে আয়োজকের দাবির যথার্থতা যাচাই করো এবং খেলাটি ন্যায্য করতে ফি কত হওয়া উচিত, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
একটি শ্রেণিতে শিক্ষার্থীরা চারটি মুদ্রা একসাথে মোট ৮০ বার নিক্ষেপ করে প্রতিবার প্রাপ্ত হেডের সংখ্যা লিখে রাখল:
| হেডের সংখ্যা ($x$) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা ($f$) | 6 | 19 | 30 | 19 | 6 |
- ক.(ক) বার্নুলি ট্রায়াল কী?১
- খ.(খ) দ্বিপদী বিন্যাসে গড় সর্বদা ভেদাংকের চেয়ে বড় হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) উদ্দীপকের তথ্য থেকে গড় নির্ণয় করে দ্বিপদী বিন্যাসের $p$ এবং বিন্যাসটির ভেদাংক বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) উপাত্তে একটি দ্বিপদী বিন্যাস সংযোজন (fitting) করে প্রত্যাশিত গণসংখ্যা বের করো এবং পর্যবেক্ষিত গণসংখ্যার সাথে তুলনা করে মুদ্রাগুলো নিরপেক্ষ কি না, মন্তব্য করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি প্রকাশনা সংস্থার কম্পোজিটর গড়ে প্রতি পৃষ্ঠায় ২টি মুদ্রণ-ভুল করেন। ভুলের সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস অনুসরণ করে। সংস্থাটি ২০০ পৃষ্ঠার একটি বই ছাপাবে। প্রকাশক বললেন, "বইয়ের অর্ধেকের বেশি পৃষ্ঠায় সর্বোচ্চ ২টি ভুল থাকবে।" (দেওয়া আছে: $e^{-2} = 0.1353$)
- ক.(ক) পৈঁসু চলক কী?১
- খ.(খ) "পৈঁসু বিন্যাসে গড় ও ভেদাংক সমান"—ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) একটি পৃষ্ঠায় ঠিক ৩টি ভুল থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) প্রকাশকের বক্তব্যটি গাণিতিকভাবে যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
একটি কলেজের ৫০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যান পরীক্ষার নম্বর পরিমিত বিন্যাস অনুসরণ করে, যার গড় ৬০ এবং পরিমিত ব্যবধান ১০। কলেজ কর্তৃপক্ষ ৮০ এর বেশি নম্বরপ্রাপ্তদের বৃত্তি দেবে। অধ্যক্ষ বললেন, "প্রায় ৫% শিক্ষার্থী বৃত্তি পাবে।"
| $z$ | 1.00 | 1.50 | 2.00 |
|---|---|---|---|
| $P(0 < Z < z)$ | 0.3413 | 0.4332 | 0.4772 |
- ক.(ক) আদর্শ পরিমিত চলক কাকে বলে?১
- খ.(খ) পরিমিত রেখা গড়ের দুই পাশে প্রতিসম কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) কতজন শিক্ষার্থী ৫০ থেকে ৭৫ এর মধ্যে নম্বর পেয়েছে, নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) অধ্যক্ষের বক্তব্যের যথার্থতা বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
একটি পরিবারের তিনটি পণ্যের মূল্য (টাকা/কেজি) ও ভোগের পরিমাণ (কেজি) নিচে দেওয়া হলো:
| পণ্য | ২০২২ সালের মূল্য ($p_0$) | ২০২২ সালের পরিমাণ ($q_0$) | ২০২৫ সালের মূল্য ($p_1$) | ২০২৫ সালের পরিমাণ ($q_1$) |
|---|---|---|---|---|
| আলু | 20 | 10 | 25 | 12 |
| পেঁয়াজ | 50 | 8 | 60 | 6 |
| ডাল | 80 | 5 | 100 | 5 |
- ক.(ক) সূচক সংখ্যা কাকে বলে?১
- খ.(খ) ফিশারের সূচক সংখ্যাকে আদর্শ সূচক সংখ্যা বলা হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) ২০২২ সালকে ভিত্তি ধরে লাসপিয়ার্স ও প্যাশের মূল্য সূচক নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) ফিশারের মূল্য সূচক নির্ণয় করো এবং দেখাও যে এটি কাল-বিপর্যয় পরীক্ষা (time reversal test) সিদ্ধ করে কিন্তু লাসপিয়ার্সের সূচক করে না।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
একটি ইউনিয়নের এক বছরের জনমিতিক তথ্য:
| বিষয় | সংখ্যা |
|---|---|
| মধ্যবর্ষের মোট জনসংখ্যা | 50,000 (পুরুষ 25,500; নারী 24,500) |
| ০–১৪ বছর বয়সী | 15,000 |
| ১৫–৬৪ বছর বয়সী | 32,000 |
| ৬৫ বছর ও তদূর্ধ্ব | 3,000 |
| ১৫–৪৯ বছর বয়সী নারী | 12,000 |
| বছরে জীবিত জন্ম | 1,100 |
| বছরে মৃত্যু | 400 |
- ক.(ক) স্থূল জন্মহার কাকে বলে?১
- খ.(খ) স্থূল জন্মহারের চেয়ে সাধারণ প্রজনন হার উত্তম পরিমাপ কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) ইউনিয়নটির স্থূল জন্মহার, স্থূল মৃত্যুহার ও স্বাভাবিক বৃদ্ধির হার নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) নির্ভরশীলতার অনুপাত ও লিঙ্গ অনুপাত নির্ণয় করে ইউনিয়নটির জনসংখ্যা কাঠামো বিশ্লেষণ করো।৪
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। যেকোনো পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
রুমানা দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করল। সে তিনটি ঘটনা সংজ্ঞায়িত করল: $A$ = প্রথম ছক্কায় জোড় সংখ্যা, $B$ = দুই ছক্কার যোগফল ৭, $C$ = দুই ছক্কার যোগফল ৮। তার বন্ধু তাহসিন বলল, "$A$ ও $B$ স্বাধীন, কিন্তু $A$ ও $C$ স্বাধীন নয়।"
- ক.(ক) দৈব পরীক্ষা কাকে বলে?১
- খ.(খ) শর্তাধীন সম্ভাবনা বলতে কী বোঝায়? উদাহরণসহ ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) যোগফল ৮ অথবা দুই ছক্কায় একই সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) তাহসিনের বক্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
একটি বাসস্ট্যান্ডে যাত্রীর অপেক্ষার সময় $X$ (দশ মিনিট এককে) একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক, যার সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন:
$$f(x) = \begin{cases} kx^2, & 0 \le x \le 3 \\ 0, & \text{অন্যত্র} \end{cases}$$
একজন যাত্রী মন্তব্য করলেন, "২ এককের বেশি অপেক্ষা করার সম্ভাবনা, এর কম অপেক্ষা করার সম্ভাবনার দ্বিগুণের বেশি।"
- ক.(ক) অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক কাকে বলে?১
- খ.(খ) সম্ভাবনা ফাংশনের মান ঋণাত্মক হতে পারে না কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) $k$ এর মান নির্ণয় করে $P(1 \le X \le 2)$ বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) $X$ এর বিন্যাস ফাংশন নির্ণয় করে যাত্রীর মন্তব্যটি যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
দুটি স্বাধীন দৈব চলক $X$ ও $Y$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস:
| $x$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $P(x)$ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
| $y$ | 0 | 2 |
|---|---|---|
| $P(y)$ | 0.4 | 0.6 |
একজন শিক্ষার্থী বলল, "$X$ ও $Y$ স্বাধীন হওয়ায় $V(2X - 3Y)$ এবং $V(2X + 3Y)$ এর মান সমান।"
- ক.(ক) সহভেদাংক কাকে বলে?১
- খ.(খ) দুটি স্বাধীন চলকের সহভেদাংক শূন্য কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) $E(2X + 3Y)$ ও $E(XY)$ নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) $V(2X - 3Y)$ নির্ণয় করে শিক্ষার্থীর বক্তব্যটি বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
একটি নতুন ওষুধ প্রয়োগে ৮০% রোগী সুস্থ হয়। একটি হাসপাতালে ৫ জন রোগীকে ওষুধটি দেওয়া হলো। চিকিৎসক আশা প্রকাশ করলেন, "কমপক্ষে ৪ জন রোগী সুস্থ হওয়ার সম্ভাবনা ৭০% এর বেশি।"
- ক.(ক) দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতিগুলো কী কী?১
- খ.(খ) $p = 0.5$ হলে দ্বিপদী বিন্যাস প্রতিসম হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) সুস্থ রোগীর সংখ্যার গড় ও ভেদাংক নির্ণয় করো এবং ঠিক ৩ জন সুস্থ হওয়ার সম্ভাবনা বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) চিকিৎসকের আশার যথার্থতা যাচাই করো এবং বিন্যাসটির আকৃতি (বঙ্কিমতা) সম্পর্কে মন্তব্য করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি মহাসড়কের নির্দিষ্ট অংশে ২০০ দিনে প্রতিদিন ঘটা দুর্ঘটনার সংখ্যা নিচে দেওয়া হলো (দেওয়া আছে: $e^{-1} = 0.3679$):
| দুর্ঘটনার সংখ্যা ($x$) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| দিনের সংখ্যা ($f$) | 74 | 72 | 38 | 12 | 4 |
- ক.(ক) পৈঁসু চলকের একটি বাস্তব উদাহরণ দাও।১
- খ.(খ) কোন শর্তে দ্বিপদী বিন্যাস পৈঁসু বিন্যাসে রূপান্তরিত হয়? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) উপাত্তের গড় ও ভেদাংক নির্ণয় করে দেখাও যে উপাত্তে পৈঁসু বিন্যাস সংযোজন যুক্তিসংগত।৩
- ঘ.(ঘ) উপাত্তে পৈঁসু বিন্যাস সংযোজন করে প্রত্যাশিত গণসংখ্যা নির্ণয় করো এবং পর্যবেক্ষিত গণসংখ্যার সাথে তুলনা করে মন্তব্য করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
একটি কলেজের ১০০০ জন শিক্ষার্থীর উচ্চতা পরিমিত বিন্যাস অনুসরণ করে, যার গড় ১৬০ সেমি এবং পরিমিত ব্যবধান ৫ সেমি। বাস্কেটবল দলের জন্য সবচেয়ে লম্বা ১০% শিক্ষার্থীকে বাছাই করা হবে। কোচ বললেন, "১৬৫ সেমির বেশি উচ্চতার সবাইকে নিলেই চলবে।"
| $z$ | 1.00 | 1.28 | 2.00 |
|---|---|---|---|
| $P(0 < Z < z)$ | 0.3413 | 0.4000 | 0.4772 |
- ক.(ক) পরিমিত বিন্যাসের পরামিতি কয়টি ও কী কী?১
- খ.(খ) পরিমিত বিন্যাসে গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক সমান হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) কতজন শিক্ষার্থীর উচ্চতা ১৫৫ থেকে ১৬৫ সেমির মধ্যে এবং কতজনের ১৭০ সেমির বেশি, নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) কোচের সিদ্ধান্তটি বিশ্লেষণ করো এবং সঠিক ন্যূনতম উচ্চতা নির্ধারণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
একটি শহরের শ্রমজীবী পরিবারের বিভিন্ন খাতে ব্যয়ের ভার ও ২০২০ সালকে ভিত্তি ধরে ২০২৫ সালের দলগত মূল্য সূচক:
| খাত | খাদ্য | বস্ত্র | বাসস্থান | জ্বালানি | বিবিধ |
|---|---|---|---|---|---|
| ভার ($W$) | 50 | 10 | 20 | 10 | 10 |
| মূল্য সূচক ($I$) | 150 | 120 | 180 | 130 | 110 |
রহিম মিয়ার মাসিক আয় ২০২০ সালে ছিল ২০,০০০ টাকা, ২০২৫ সালে তা বেড়ে হয়েছে ২৮,০০০ টাকা।
- ক.(ক) জীবনযাত্রার ব্যয় সূচক কী?১
- খ.(খ) সরল সূচকের চেয়ে ভারযুক্ত সূচক উত্তম কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) ২০২৫ সালের জীবনযাত্রার ব্যয় সূচক নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) রহিম মিয়া ২০২৫ সালে আগের জীবনযাত্রার মান বজায় রাখতে পারবেন কি না, প্রকৃত আয় নির্ণয় করে বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
একটি ছোট বাজারের ৫টি দোকানের এক দিনের বিক্রয় (হাজার টাকা) হলো ২, ৪, ৬, ৮ ও ১০। এই সমগ্রক থেকে প্রতিস্থাপন ছাড়া আকার ২ এর সম্ভাব্য সব নমুনা নেওয়া হলো। জরিপকারী বললেন, "প্রতিস্থাপনসহ নমুনা নিলে নমুনা গড়ের ভেদাংক কম হতো।"
- ক.(ক) পরামিতি কাকে বলে?১
- খ.(খ) শুমারির চেয়ে নমুনা জরিপ কম ব্যয়সাপেক্ষ কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) সম্ভাব্য সব নমুনা ও তাদের গড় নির্ণয় করে দেখাও যে নমুনা গড়ের প্রত্যাশা সমগ্রক গড়ের সমান।৩
- ঘ.(ঘ) নমুনা গড়ের ভেদাংক নির্ণয় করো এবং জরিপকারীর বক্তব্যের যথার্থতা বিশ্লেষণ করো।৪
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। যেকোনো পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
একটি কলেজের সাংস্কৃতিক কমিটি গঠনের জন্য ৭ জন ছাত্র ও ৫ জন ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ৪ জনকে বাছাই করা হবে। ছাত্র সংসদের এক সদস্য মন্তব্য করল, "কমিটিতে ছাত্রীরা সংখ্যাগরিষ্ঠ হওয়ার সম্ভাবনা ছাত্ররা সংখ্যাগরিষ্ঠ হওয়ার সম্ভাবনার অর্ধেকেরও কম।"
- ক.(ক) সমাবেশ (combination) কাকে বলে?১
- খ.(খ) সম্ভাবনার সনাতন সংজ্ঞার দুটি সীমাবদ্ধতা ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) কমিটিতে ঠিক ২ জন ছাত্রী থাকার সম্ভাবনা এবং অন্তত একজন ছাত্রী থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) সদস্যটির মন্তব্য গাণিতিকভাবে যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
একটি দোকানে দিনে বিক্রি হওয়া ছাতার সংখ্যা ($X$) ও রেইনকোটের সংখ্যা ($Y$) এর যৌথ সম্ভাবনা বিন্যাস:
| $Y = 1$ | $Y = 2$ | $Y = 3$ | |
|---|---|---|---|
| $X = 0$ | 0.10 | 0.20 | 0.10 |
| $X = 1$ | 0.20 | 0.25 | 0.15 |
দোকানি ধারণা করেন, ছাতা ও রেইনকোটের বিক্রি একে অপরের উপর নির্ভর করে না।
- ক.(ক) যৌথ সম্ভাবনা ফাংশন কাকে বলে?১
- খ.(খ) বিন্যাস ফাংশন কখনো কমে না কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) $X$ ও $Y$ এর প্রান্তিক বিন্যাস নির্ণয় করো এবং $P(X + Y \le 2)$ বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) $X$ ও $Y$ এর সহভেদাংক নির্ণয় করে দোকানির ধারণাটি বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
একজন কৃষি কর্মকর্তা পরীক্ষা করে দেখলেন, একটি জাতের বীজের প্রতিটি সারিতে নির্দিষ্ট সংখ্যক বীজ বপন করলে অঙ্কুরিত না হওয়া বীজের সংখ্যা একটি দ্বিপদী চলক, যার গড় ৩ এবং ভেদাংক ২.১। কর্মকর্তা বললেন, "একটি সারিতে অন্তত একটি বীজ অঙ্কুরিত না হওয়ার সম্ভাবনা ৯৫% এর বেশি।"
- ক.(ক) দ্বিপদী পরীক্ষণের দুটি বৈশিষ্ট্য লেখো।১
- খ.(খ) দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাংক কখন সর্বোচ্চ হয়? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) বিন্যাসটির $n$ ও $p$ নির্ণয় করে ঠিক ২টি বীজ অঙ্কুরিত না হওয়ার সম্ভাবনা বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) কর্মকর্তার বক্তব্য যাচাই করো এবং বিন্যাসটির বঙ্কিমতার প্রকৃতি বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
একটি কারখানায় উৎপাদিত সিরিঞ্জের ১% ত্রুটিপূর্ণ। সিরিঞ্জগুলো ৩০০টি করে প্যাকেটে বাজারজাত করা হয়। কোম্পানি ঘোষণা দিয়েছে, কোনো প্যাকেটে ৩টির বেশি ত্রুটিপূর্ণ সিরিঞ্জ পাওয়া গেলে প্যাকেটটি বদলে দেওয়া হবে। বিক্রয় ব্যবস্থাপকের ধারণা, ১০০০টি প্যাকেটের মধ্যে এক-তৃতীয়াংশের কম প্যাকেট বদলাতে হবে। (দেওয়া আছে: $e^{-3} = 0.0498$)
- ক.(ক) পৈঁসু বিন্যাসের গড় ও ভেদাংকের সম্পর্ক কী?১
- খ.(খ) পৈঁসু বিন্যাস সর্বদা ধনাত্মক বঙ্কিম কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) একটি প্যাকেটে কোনো ত্রুটিপূর্ণ সিরিঞ্জ না থাকার এবং ঠিক ২টি থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) বিক্রয় ব্যবস্থাপকের ধারণাটি যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি কোম্পানির দুটি মেশিন চিনির প্যাকেট ভরে। মেশিন A এর প্যাকেটের ওজন পরিমিত বিন্যাস অনুসরণ করে, যার গড় ৫০০ গ্রাম ও পরিমিত ব্যবধান ৮ গ্রাম। মেশিন B এর প্যাকেটের গড় ওজন ৫০২ গ্রাম ও পরিমিত ব্যবধান ৪ গ্রাম। ৪৯৪ গ্রামের কম ওজনের প্যাকেট বাতিল করা হয়। মেশিন A প্রতিদিন ২০০০টি প্যাকেট তৈরি করে।
| $z$ | 0.75 | 1.00 | 1.50 | 2.00 |
|---|---|---|---|---|
| $P(0 < Z < z)$ | 0.2734 | 0.3413 | 0.4332 | 0.4772 |
- ক.(ক) আদর্শ পরিমিত বিন্যাসের গড় ও ভেদাংক কত?১
- খ.(খ) "পরিমিত রেখার অধীনে মোট ক্ষেত্রফল ১"—ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) মেশিন A এর দৈনিক উৎপাদনের কতটি প্যাকেটের ওজন ৪৮৮ গ্রামের কম এবং কতটির ওজন ৪৯২ থেকে ৫১৬ গ্রামের মধ্যে, নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) বাতিলের হার বিবেচনায় কোন মেশিনটি অধিক কার্যকর? গড় ও পরিমিত ব্যবধানের ভূমিকাসহ বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
একটি বাজারে চারটি নিত্যপণ্যের মূল্য (টাকা):
| পণ্য (একক) | ২০২১ সালের মূল্য | ২০২৫ সালের মূল্য |
|---|---|---|
| চাল (কেজি) | 50 | 65 |
| ডিম (হালি) | 40 | 48 |
| দুধ (লিটার) | 60 | 90 |
| চিনি (কেজি) | 100 | 140 |
একজন অর্থনীতির শিক্ষার্থী লক্ষ করল, ডিমের দাম হালির বদলে ডজন হিসেবে লিখলে একটি পদ্ধতিতে সূচকের মান বদলে যায়, কিন্তু অন্য পদ্ধতিতে বদলায় না।
- ক.(ক) ভিত্তি বছর কাকে বলে?১
- খ.(খ) "সূচক সংখ্যা অর্থনৈতিক ব্যারোমিটার"—ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) ২০২১ সালকে ভিত্তি ধরে সরল সমষ্টিগত মূল্য সূচক এবং মূল্যানুপাতের সরল গড় পদ্ধতিতে মূল্য সূচক নির্ণয় করো।৩
- ঘ.(ঘ) ডিমের দাম ডজন হিসেবে ধরে উভয় সূচক পুনরায় নির্ণয় করো এবং শিক্ষার্থীর পর্যবেক্ষণের আলোকে কোন পদ্ধতিটি অধিক নির্ভরযোগ্য, বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
একটি গ্রামের ৪০টি পরিবার থেকে দৈবভাবে প্রতিস্থাপন ছাড়া ৫টি পরিবার বাছাই করে মাসিক খাদ্য ব্যয় (হাজার টাকা) জানা গেল: ১২, ১৫, ১০, ১৮, ২০। জরিপ চলাকালে দেখা গেল, কয়েকজন উত্তরদাতা সামাজিক মর্যাদার কারণে ব্যয় বাড়িয়ে বলেছেন এবং একজন তথ্য সংগ্রহকারী দুটি প্রশ্ন ভুলভাবে লিখে রেখেছেন। জরিপ দলের প্রধান বললেন, "নমুনার আকার বাড়ালেই সব ভুল দূর হবে।"
- ক.(ক) নমুনায়ন একক কাকে বলে?১
- খ.(খ) সম্ভাবনাভিত্তিক নমুনায়ন ও উদ্দেশ্যমূলক নমুনায়নের পার্থক্য ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) নমুনা গড় ও নমুনা ভেদাংক নির্ণয় করে গ্রামের মোট মাসিক খাদ্য ব্যয়ের প্রাক্কলন এবং নমুনা গড়ের প্রাক্কলিত ভেদাংক বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) উদ্দীপকে উল্লিখিত ভুলগুলোর ধরন শনাক্ত করে জরিপ দলের প্রধানের বক্তব্যটি বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
একটি জেলার প্রজননক্ষম নারীর বয়সভিত্তিক সংখ্যা ও এক বছরে তাদের জীবিত সন্তান জন্মদানের তথ্য (মোট জন্মের প্রতি ১০০ জনে ৪৮ জন কন্যাশিশু):
| বয়স (বছর) | 15–19 | 20–24 | 25–29 | 30–34 | 35–39 | 40–44 | 45–49 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| নারীর সংখ্যা | 4000 | 3600 | 3200 | 3000 | 2800 | 2500 | 2000 |
| জীবিত জন্ম | 200 | 540 | 480 | 300 | 140 | 50 | 10 |
| কন্যাশিশুর ঐ বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকার অনুপাত | 0.95 | 0.95 | 0.94 | 0.94 | 0.93 | 0.92 | 0.90 |
জেলা পরিসংখ্যান কর্মকর্তা মন্তব্য করলেন, "এই জেলার প্রজনন হার প্রতিস্থাপন স্তরের নিচে নেমে গেছে।"
- ক.(ক) বয়স-নির্দিষ্ট প্রজনন হার কাকে বলে?১
- খ.(খ) স্থূল মৃত্যুহারকে 'স্থূল' বলা হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।২
- গ.(গ) বয়স-নির্দিষ্ট প্রজনন হারগুলো নির্ণয় করে মোট প্রজনন হার বের করো।৩
- ঘ.(ঘ) স্থূল ও নিট পুনরুৎপাদন হার নির্ণয় করো এবং নিট পুনরুৎপাদন হারের আলোকে কর্মকর্তার মন্তব্যটি বিশ্লেষণ করো।৪
প্রস্তুতির কৌশল
- দ্বিপদী, পৈঁসু ও পরিমিত বিন্যাস (চতুর্থ থেকে ষষ্ঠ অধ্যায়) থেকে প্রতি সেটে তিনটি প্রশ্ন থাকে। $P(x) = \binom{n}{x}p^x q^{n-x}$, $P(x) = \dfrac{e^{-m}m^x}{x!}$ এবং $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$—এই তিন সূত্র ও তাদের গড়-ভেদাংক মুখস্থ রাখো।
- পরিমিত বিন্যাসের প্রশ্নে আগে একটি ছোট পরিমিত রেখা এঁকে কোন অংশের ক্ষেত্রফল লাগবে তা দাগিয়ে নাও; গড়ের একই পাশে হলে বিয়োগ, দুই পাশে হলে যোগ, এই ভুলটিই সবচেয়ে বেশি হয়।
- গ ও ঘ অংশে সম্ভাবনা বা প্রত্যাশিত গণসংখ্যা বের করার পর উদ্দীপকের দাবির সাথে মিলিয়ে একটি স্পষ্ট সিদ্ধান্ত লেখো ("দাবিটি যথার্থ নয়, কারণ ...")। শুধু সংখ্যা লিখলে ঘ অংশে পূর্ণ নম্বর মেলে না।
- সূচক সংখ্যায় লাসপিয়ার্স ($\frac{\sum p_1q_0}{\sum p_0q_0}\times100$), প্যাশে ($\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_1}\times100$) ও ফিশারের সূত্রের পাশাপাশি কাল-বিপর্যয় ও উপাদান-বিপর্যয় পরীক্ষার শর্ত লিখতে শেখো; সারণিতে $p_1q_0$, $p_0q_0$ ইত্যাদির আলাদা কলাম করলে হিসাব ভুল কম হয়।
- জনসংখ্যা পরিসংখ্যানে প্রতিটি হার "প্রতি হাজারে" না "শতকরা", তা লক্ষ রাখো; মোট প্রজনন হার বের করতে বয়সশ্রেণির ব্যবধান ৫ দিয়ে গুণ করতে ভুলো না।
- প্রত্যাশা ও ভেদাংকের ধর্মগুলো ($E(aX+b) = aE(X)+b$, $V(aX+b) = a^2V(X)$) খ অংশে বারবার আসে; প্রমাণসহ অনুশীলন করে রাখো।
আরও প্রশ্ন দরকার?
লেসনকিটস-এ যেকোনো অধ্যায় বা বিন্যাস বেছে নিয়ে এ ধরনের নতুন সৃজনশীল প্রশ্ন ও পূর্ণাঙ্গ প্রশ্নপত্র তৈরি করা যায়, উত্তরসহ এবং প্রিন্ট করার উপযোগী করে। এখনই প্রশ্ন তৈরি করুন
0 টি মন্তব্য
মন্তব্য করতে লগইন করুন।