বাইনারি যোগ-বিয়োগ ও চিহ্নযুক্ত সংখ্যা

এইচএসসি আইসিটি অধ্যায় ৩: বাইনারি যোগ ও বিয়োগের নিয়ম, চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বা Signed Number এর ধারণা, সাইন বিট, প্রকৃত মান গঠন এবং ১-এর পরিপূরক নিয়ে বিস্তারিত আলোচন

শেখা শুরু করুন

বাইনারি যোগ-বিয়োগ ও চিহ্নযুক্ত সংখ্যা

  1. বাইনারি যোগ-বিয়োগ ও চিহ্নযুক্ত সংখ্যা
  2. কম্পিউটার কি 'মাইনাস' (-) চেনে?
  3. বাইনারি যোগের নিয়মাবলী
  4. বাইনারি যোগ: উদাহরণ ও অনুশীলন
  5. বাইনারি বিয়োগের নিয়মাবলী
  6. বাইনারি বিয়োগ: উদাহরণ
  7. চিহ্নযুক্ত সংখ্যা (Signed Number)
  8. চিহ্নযুক্ত সংখ্যা ও সাইন বিট (Sign Bit)
  9. ৮-বিট রেজিস্টারের গঠন
  10. ঋণাত্মক সংখ্যা প্রকাশের পদ্ধতি
  11. ১. প্রকৃত মান গঠন (Sign Magnitude)
  12. প্রকৃত মান গঠনের সীমাবদ্ধতা
  13. ২. ১-এর পরিপূরক (1's Complement)
  14. ১-এর পরিপূরক: উদাহরণ
  15. সারসংক্ষেপ ও বাড়ির কাজ

বাইনারি যোগ-বিয়োগ ও চিহ্নযুক্ত সংখ্যা

এই লেকচার শেষে আমরা-

১। বাইনারি যোগ ও বিয়োগের নিয়মাবলী ব্যাখ্যা ও প্রয়োগ করতে পারব।
২। চিহ্নযুক্ত সংখ্যা (Signed Number) বা ধনাত্মক/ঋণাত্মক সংখ্যা কীভাবে কম্পিউটারে উপস্থাপন করা হয় তা বুঝতে পারব।
৩। প্রকৃত মান গঠন (Sign Magnitude) এবং ১-এর পরিপূরক (1's Complement) ব্যাখ্যা করতে পারব।

হ্যালো শিক্ষার্থী বন্ধুরা! এইচএসসি আইসিটি কোর্সের আজকের ক্লাসে তোমাদের স্বাগতম। আজকে আমরা খুব ইন্টারেস্টিং এবং গাণিতিক একটি বিষয় নিয়ে আলোচনা করব। এই লেকচার শেষে আমরা- ১। বাইনারি যোগ ও বিয়োগের নিয়মাবলী ব্যাখ্যা ও প্রয়োগ করতে পারব, ২। চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বা Signed Number কীভাবে কম্পিউটারে কাজ করে তা বুঝতে পারব এবং ৩। প্রকৃত মান গঠন ও ১-এর পরিপূরক সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে পারব। চলো শুরু করা যাক!

কম্পিউটার কি 'মাইনাস' (-) চেনে?

দৃশ্যপট:
- ক্যালকুলেটরে ৫ - ৭ = -২ দেখাচ্ছে।
- প্রশ্ন: কম্পিউটার মেমোরিতে তো শুধু ০ আর ১ থাকে। সেখানে 'মাইনাস' (-) চিহ্ন রাখার জায়গা কোথায়?
- উত্তর: কম্পিউটারে মাইনাস চিহ্নের বদলে একটি বিশেষ বিট বা 'সাইন বিট' ব্যবহার করা হয়।

মূল কথা:
- কম্পিউটার শুধু ০ এবং ১ বোঝে।
- আলাদা করে গাণিতিক চিহ্ন (+, -) মেমোরিতে রাখা যায় না।
- সংখ্যার সাথেই চিহ্ন প্রকাশ করতে হয়।

তোমরা সবাই ক্যালকুলেটর ব্যবহার করেছ, তাই না? ধরো তুমি ৫ থেকে ৭ বিয়োগ করলে, রেজাল্ট আসবে -২ (মাইনাস টু)। কিন্তু একটু ভাবো তো! কম্পিউটার বা ক্যালকুলেটরের মেমোরিতে তো শুধুই ০ আর ১ থাকে। সেখানে এই মাইনাস চিহ্নটা কোথায় রাখা হয়? তারের ভেতরে তো আর মাইনাস চিহ্ন ফ্লো হতে পারে না! আসলে কম্পিউটার মাইনাস চিহ্ন চেনে না, সে মাইনাস চিহ্নের বদলে একটি বিশেষ টেকনিক ব্যবহার করে, যাকে আমরা বলি সাইন বিট। আজকের ক্লাসে আমরা সেই রহস্যটাই সমাধান করব।

বাইনারি যোগের নিয়মাবলী

বাইনারি যোগের ৪টি মৌলিক নিয়ম:

  1. $০ + ০ = ০$
  2. $০ + ১ = ১$
  3. $১ + ০ = ১$
  4. $১ + ১ = ১০$ (এখানে যোগফল ০ এবং কেরি ১)

বিশেষ ক্ষেত্র:
- $১ + ১ + ১ = ১১$ (যোগফল ১ এবং কেরি ১)

গুরুত্বপূর্ণ:
- Carry (কেরি): হাতে থাকা সংখ্যা যা পরের ঘরে যোগ হয়।
- বাইনারিতে ২ মানে ১০, ৩ মানে ১১।

বাইনারি যোগ সাধারণ গণিতের মতই, শুধু নিয়মগুলো একটু মনে রাখতে হবে। প্রথম তিনটি নিয়ম খুব সহজ। ০ আর ০ যোগ করলে ০, ০ আর ১ এ ১, ১ আর ০ তে ১। সমস্যা হয় যখন আমরা ১ আর ১ যোগ করি। দশমিকে ১ আর ১ যোগ করলে হয় ২, আর বাইনারিতে ২ মানে হলো ১০ (এক-শূন্য)। তাই ১+১ হলে যোগফল হবে ০ এবং হাতে থাকবে বা কেরি থাকবে ১। আর যদি কখনো তিনটি ১ যোগ করতে হয় (১+১+১), তখন ফল হবে ১১ (এক-এক) - অর্থাৎ যোগফল ১, হাতেও থাকবে ১।

বাইনারি যোগ: উদাহরণ ও অনুশীলন

উদাহরণ: $১০১১০ + ১০১১$

  ১ ০ ১ ১ ০
+   ১ ০ ১ ১
---------------
১ ০ ০ ০ ০ ১

ধাপসমূহ:
- $(০+১)=১$
- $(১+১)=০$ (হাতে ১)
- $(১+০+হাতের ১)=০$ (হাতে ১)
- $(০+১+হাতের ১)=০$ (হাতে ১)
- $(১+হাতের ১)=১০$

চলো একটি উদাহরণ দেখি। ১০১১০ এর সাথে ১০১১ যোগ করি। একদম ডানদিক থেকে শুরু করব। ০ আর ১ যোগ করলে ১। এরপর ১ আর ১ যোগ করলে ০, হাতে থাকে ১। এখন পরের লাইনে ১ আর ০ আছে, কিন্তু হাতে একটা ১ ছিল। তাহলে ১+০+১ = ১০। মানে নামবে ০, হাতে থাকবে ১। এভাবে আমরা পুরো যোগটি সম্পন্ন করব। ভিডিওটি পজ করে তোমরা নিজেরা একবার খাতায় করে মিলিয়ে নাও।

বাইনারি বিয়োগের নিয়মাবলী

বাইনারি বিয়োগের নিয়ম:

  1. $০ - ০ = ০$
  2. $১ - ১ = ০$
  3. $১ - ০ = ১$
  4. $০ - ১ = ১$ (ধার বা Borrow ১)

ধার করার নিয়ম:
- দশমিকে ছোট সংখ্যা থেকে বড় সংখ্যা বিয়োগ করতে হলে বামের ঘর থেকে ১০ ধার নিই।
- বাইনারিতে আমরা ২ ধার নিই (যা বাইনারিতে ১০)।
- $১০ - ১ = ১$

বিয়োগের ক্ষেত্রেও তিনটি নিয়ম সহজ, শুধু চতুর্থটি বুঝতে হবে। ০ থেকে ১ বিয়োগ করা যায় না। তাই আমাদের বামের ঘর থেকে ধার নিতে হয়। দশমিকে যেমন ১০ ধার নিই, বাইনারিতে আমরা ভিত্তি বা Base অর্থাৎ ২ ধার নিই। আর ২ থেকে ১ গেলে ১ থাকে। তাই মনে রাখবে: ০ থেকে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল হয় ১ এবং হাতে ধার থাকে ১, যা পরের লাইনে শোধ দিতে হয়।

বাইনারি বিয়োগ: উদাহরণ

উদাহরণ: $১১০১ - ১০১০$

  ১ ১ ০ ১
- ১ ০ ১ ০
-------------
  ০ ০ ১ ১

ব্যাখ্যা:
1. $১-০ = ১$
2. $০-১ = ১$ (ধার ১)
3. $১-০-১(ধার) = ০$
4. $১-১ = ০$

ফলাফল: ১১ (দশমিক ৩)

এসো ১১০১ থেকে ১০১০ বিয়োগ করি। ডানে ১-০ = ১। এরপর ০-১। যেহেতু ০ ছোট, তাই ধার নিলাম। ফল হলো ১। এই যে ধার নিলাম, সেটা পরের কলামের নিচের ০ এর সাথে মনে মনে যোগ করে ১ বানালাম। এখন উপরের ১ থেকে নিচের ১ বিয়োগ করলে ০। শেষে ১-১=০। অর্থাৎ উত্তর হলো ১১।

চিহ্নযুক্ত সংখ্যা (Signed Number)

আমরা যোগ-বিয়োগ শিখলাম। কিন্তু শুরুতে যে বলেছিলাম, কম্পিউটার মাইনাস চিহ্ন বোঝে না? তাহলে সে নেগেটিভ সংখ্যার যোগ-বিয়োগ বা হিসাব কীভাবে রাখে? এখন আমরা সেই চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বা Signed Number এর জগতেও প্রবেশ করব। এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ কনসেপ্ট।

চিহ্নযুক্ত সংখ্যা ও সাইন বিট (Sign Bit)

সংজ্ঞা: চিহ্ন বা সাইন (+, -) যুক্ত সংখ্যাকে সাইনড নম্বর বলে।

সাইন বিট (Sign Bit):
কম্পিউটার রেজিস্টারের একদম বামের বিটটিকে (MSB) চিহ্ন বিট বলা হয়।
- ০ = ধনাত্মক (+)
- ১ = ঋণাত্মক (-)

ডেটা বিট:
চিহ্ন বিট বাদে বাকি বিটগুলো সংখ্যার মান (Magnitude) প্রকাশ করে।

কম্পিউটার মেমোরিতে যখন আমরা কোনো সংখ্যা রাখি, তার একদম বামের বিটটি খুব স্পেশাল। একে বলা হয় সাইন বিট। এই বিটটি যদি ০ হয়, কম্পিউটার বোঝে সংখ্যাটি পজিটিভ। আর যদি ১ হয়, কম্পিউটার বোঝে এটি নেগেটিভ। আর বাকি বিটগুলো দিয়ে সংখ্যার মান বোঝানো হয়।

৮-বিট রেজিস্টারের গঠন

৮ বিট রেজিস্টার:
[ চিহ্ন বিট ] [ মান বা ম্যাগনিচিউড (৭ বিট) ]

উদাহরণ:
- +২৫ = ০ ০০১ ১ ০০১
(সাইন বিট ০, মান ২৫ এর বাইনারি)

  • -২৫ = ১ ০০১ ১ ০০১
    (সাইন বিট ১, মান ২৫ এর বাইনারি - চিহ্ন-মান পদ্ধতি অনুযায়ী)

মনে করো আমাদের কাছে ৮টি খোপওয়ালা একটি বক্স আছে, একে আমরা ৮-বিট রেজিস্টার বলি। এর প্রথম খোপটি শুধুই চিহ্নের জন্য। ধরো আমরা +২৫ লিখব। ২৫ এর বাইনারি হলো ১১০০১। এটাকে ৭ বিটে বসালাম ০০১১০০১। আর যেহেতু প্লাস, তাই সাইন বিটে বসালাম ০। যদি -২৫ হতো? তাহলে সাইন বিটে ১ বসিয়ে দিতাম। এই পদ্ধতিকে বলে প্রকৃত মান গঠন।

ঋণাত্মক সংখ্যা প্রকাশের পদ্ধতি

কম্পিউটারে ঋণাত্মক সংখ্যা প্রকাশের ৩টি পদ্ধতি আছে:

  1. প্রকৃত মান গঠন (Sign-Magnitude Form)
  2. ১-এর পরিপূরক (1's Complement)
  3. ২-এর পরিপূরক (2's Complement)

দ্রষ্টব্য: আধুনিক কম্পিউটারে ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় (যা আমরা পরের ক্লাসে শিখব)।

নেগেটিভ সংখ্যা প্রকাশের জন্য বিজ্ঞানীরা তিনটি পদ্ধতি বের করেছেন। ১. প্রকৃত মান গঠন, ২. ১-এর পরিপূরক এবং ৩. ২-এর পরিপূরক। আজকে আমরা প্রথম দুটি পদ্ধতি দেখব। ২-এর পরিপূরক বা 2's Complement সবচেয়ে আধুনিক এবং গুরুত্বপূর্ণ, যা আমরা পরের ক্লাসের জন্য রেখে দিয়েছি।

১. প্রকৃত মান গঠন (Sign Magnitude)

নিয়ম:
- সংখ্যার প্রকৃত বাইনারি মানের আগে শুধু সাইন বিট পরিবর্তন করা হয়।
- ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে সাইন বিট ০।
- ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে সাইন বিট ১।

উদাহরণ (৮ বিটে):
- $+৫ = ০০০০০১০১$
- $-৫ = ১০০০০১০১$

এখানে শুধু প্রথম বিটটি পরিবর্তন হয়েছে, বাকি সব একই আছে।

প্রকৃত মান গঠন বা Sign Magnitude হলো সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি। এখানে সংখ্যার মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। শুধু সামনের বিটটি ০ বা ১ করে প্লাস বা মাইনাস বোঝানো হয়। যেমন ৫ এর বাইনারি ১০১। ৮ বিটে লিখলে ০০০০০১০১। এটা +৫। আর -৫ হলে শুধু প্রথম ০ টাকে ১ করে দিলেই হবে -> ১০০০০১০১।

প্রকৃত মান গঠনের সীমাবদ্ধতা

সমস্যা:
১. ০ (শূন্য) এর দুটি মান তৈরি হয়:
- $+০ (০০০০০০০০)$
- $-০ (১০০০০০০০)$
বাস্তবে ০ এর কোনো চিহ্ন নেই।

  1. জটিল সার্কিট:
    - এই পদ্ধতিতে সাধারণ বাইনারি যোগ-বিয়োগের নিয়ম কাজ করে না।

ফলাফল: এটি বর্তমানে ব্যবহৃত হয় না।

তোমরা ভাবতে পারো, এটাই তো সহজ! সব কম্পিউটার এটাই ব্যবহার করে না কেন? সমস্যা হলো, এই পদ্ধতিতে ০ এর দুটি রূপ চলে আসে। একটা +০ আরেকটা -০। কিন্তু গণিতে ০ তো একটাই, তাই না? এটা কম্পিউটারের জন্য কনফিউজিং। এছাড়া এই পদ্ধতিতে যোগ-বিয়োগের সার্কিট তৈরি করা অনেক জটিল। তাই এই পদ্ধতি এখন আর ব্যবহার হয় না বললেই চলে।

২. ১-এর পরিপূরক (1's Complement)

সংজ্ঞা:
কোনো বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি ১-কে ০ এবং ০-কে ১ এ পরিবর্তন করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাকে ১-এর পরিপূরক বলে।

প্রয়োগ:
- এটি মূলত ইনভার্টার বা NOT গেটের কাজ।
- ঋণাত্মক সংখ্যা তৈরিতে এটি ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ:
১০১ $\to$ ০১০

এখন আসি ১-এর পরিপূরকে। এটা খুব মজার। তোমার কাছে যা আছে, সব উল্টে দাও। অর্থাৎ যতগুলো ১ আছে সেগুলোকে ০ বানাও, আর যতগুলো ০ আছে সেগুলোকে ১ বানাও। এটাই ১-এর পরিপূরক। ডিজিটাল লজিক গেটে NOT গেট ঠিক এই কাজটিই করে।

১-এর পরিপূরক: উদাহরণ

উদাহরণ: ২৫ এর ১-এর পরিপূরক নির্ণয়।

১. প্রথমে +২৫ কে ৮-বিট বাইনারিতে সাজাই:
০ ০ ১ ১ ০ ০ ১

২. বিটগুলো উল্টে দিই (১ এর পরিপূরক):
১ ১ ০ ০ ১ ১ ০

ফলাফল: ১ ১০০ ১ ১০ হলো ২৫ এর ১-এর পরিপূরক মান।

উদাহরণ হিসেবে আবার ২৫ কে নিই। প্রথমে ২৫ এর ৮-বিট বাইনারি লিখি: ০০১১০০১। এবার জাস্ট উল্টে দাও। প্রথম দুটি ০ হয়ে যাবে ১, পরের দুটি ১ হয়ে যাবে ০... এভাবে আমরা পাব ১১০০১১০। এটাই হলো ২৫ এর ১-এর পরিপূরক ফর্ম। খুবই সহজ, তাই না?

সারসংক্ষেপ ও বাড়ির কাজ

আজ আমরা শিখলাম:
- বাইনারি যোগ ও বিয়োগের নিয়ম।
- চিহ্নযুক্ত সংখ্যা ও সাইন বিট।
- প্রকৃত মান ও ১-এর পরিপূরক পদ্ধতি।

বাড়ির কাজ:
১। যোগ কর: $১১১০১ + ১০১০১$
২। ৮-বিট রেজিস্টারে $-১৩$ সংখ্যাটি 'প্রকৃত মান' ও '১-এর পরিপূরক' পদ্ধতিতে লিখে দেখাও।

পরের ক্লাসে: ২-এর পরিপূরক (2's Complement) - যা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ!

আজকে আমরা অনেক গুরুত্বপূর্ণ বিষয় শিখলাম। বিশেষ করে বাইনারি যোগ-বিয়োগ এবং নেগেটিভ সংখ্যার কনসেপ্ট। তোমাদের জন্য দুটি বাড়ির কাজ দেওয়া হলো। ১টি যোগ এবং ১টি কনভার্শন। স্লাইডটি পজ করে প্রশ্নগুলো তুলে নাও। পরের ক্লাসে আমরা ২-এর পরিপূরক শিখব যা থেকে পরীক্ষায় প্রশ্ন বেশি আসে এবং যা কম্পিউটারের আসল ভাষা। তাই পরের ক্লাসটি মিস করবে না! ভালো থেকো সবাই।

বাইনারি যোগ-বিয়োগ ও চিহ্নযুক্ত সংখ্যা: বিস্তারিত আলোচনা ও পরীক্ষার প্রস্তুতি

পড়তে প্রায় 25 মিনিট

আধুনিক কম্পিউটারের গাণিতিক কাজের ভিত্তি হলো বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি। আমরা দৈনন্দিন জীবনে দশমিক সংখ্যায় যোগ-বিয়োগ করলেও কম্পিউটার অভ্যন্তরীণভাবে শুধুমাত্র ০ এবং ১ ব্যবহার করে সব গাণিতিক কাজ সম্পাদন করে। লেকচারে আমরা জেনেছি যে কম্পিউটার সরাসরি 'বিয়োগ' বা 'মাইনাস' চিহ্ন চেনে না; সে বিয়োগের কাজটিও যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করে। এজন্য চিহ্নযুক্ত সংখ্যা (Signed Number) এবং এর বিভিন্ন রূপ (যেমন ১-এর পরিপূরক) সম্পর্কে স্বচ্ছ ধারণা থাকা জরুরি।

এই অধ্যায়ে আমরা বাইনারি যোগ ও বিয়োগের খুঁটিনাটি নিয়মগুলো শিখব, যা সৃজনশীল প্রশ্নের 'গ' ও 'ঘ' অংশের গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য অপরিহার্য। বিশেষ করে ক্যারি (Carry) বা হাতে থাকা সংখ্যাটি কীভাবে কাজ করে এবং বড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ে তার ভূমিকা কী, তা আমরা বিস্তারিত দেখব। এছাড়াও, ঋণাত্মক সংখ্যা প্রকাশের পদ্ধতিগুলো—যেমন প্রকৃত মান গঠন (Sign Magnitude) এবং ১-এর পরিপূরক (1's Complement)—নিয়ে আলোচনা করা হবে।

পরীক্ষার খাতায় নির্ভুল উত্তর করার জন্য এই বিষয়গুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। অনেক সময় শিক্ষার্থীরা বাইনারি বিয়োগে 'ধার' (Borrow) নেয়ার নিয়মে ভুল করে অথবা রেজিস্টারের বিট সংখ্যা ঠিক রাখতে পারে না। এই রিডিং ম্যাটেরিয়ালটি এমনভাবে সাজানো হয়েছে যাতে তোমরা এই জটিল বিষয়গুলো সহজে আয়ত্ত করতে পারো এবং পরীক্ষায় সর্বোচ্চ নম্বর নিশ্চিত করতে পারো।

বাইনারি যোগ (Binary Addition): নিয়ম ও কৌশল

বাইনারি যোগ দশমিক যোগের মতোই, তবে এখানে অঙ্ক মাত্র দুটি (০ এবং ১)। বাইনারি যোগের চারটি মৌলিক নিয়ম রয়েছে যা মনে রাখা খুবই জরুরি। নিচে নিয়মগুলো দেওয়া হলো:

১ম বিট ২য় বিট যোগফল (Sum) হাতে থাকে (Carry) মন্তব্য
০ ০ ০ ০ সাধারণ যোগ
০ ১ ১ ০ সাধারণ যোগ
১ ০ ১ ০ সাধারণ যোগ
১ ১ ০ ১ ১+১ = ২ (বাইনারিতে ১০), তাই ০ বসে, ১ হাতে থাকে

বিশেষ নিয়ম: যদি তিনটি ১ যোগ করতে হয় (যেমন: ১ + ১ + হাতের ১), তবে যোগফল হবে ১ এবং হাতে থাকবে ১। কারণ ১+১+১ = ৩, আর ৩ এর বাইনারি হলো ১১।

পরীক্ষার টিপস (Exam Tip):
পরীক্ষার খাতায় বড় যোগ করার সময় রাফ (Rough) অংশে কলামের উপরে হাতে থাকা 'ক্যারি' (Carry) বিটটি ছোট করে লিখে রাখা ভালো। এতে ভুল হওয়ার সম্ভাবনা কমে। মনে রাখবে, ১+১+১+১ = ৪ (বাইনারিতে ১০০), অর্থাৎ এক্ষেত্রে যোগফল ০ নামবে এবং হাতে থাকবে ১০ (দশমিকের ২)। তবে এইচএসসি পরীক্ষায় সচরাচর ৩টির বেশি ১ যোগ করতে হয় না।

রেডিক্স পয়েন্ট বা ভগ্নাংশের যোগ

পূর্ণ সংখ্যার পাশাপাশি ভগ্নাংশের যোগের ক্ষেত্রে নিয়ম একই। শুধু খেয়াল রাখতে হবে যেন রেডিক্স পয়েন্ট (দশমিক বিন্দু) একে অপরের ঠিক নিচে থাকে।

উদাহরণ (Worked Example):
যোগ কর: $১১০১.১০১_২ + ১০১১.১১_২$

সমাধান:
প্রথমে রেডিক্স পয়েন্ট ঠিক রেখে সংখ্যাগুলো সাজাই (প্রয়োজনে ডানে বা বামে শূন্য দিয়ে বিট সংখ্যা সমান করে নেয়া যায়):

  ১ ১ ১ ১      <- ক্যারি (হাতে থাকা সংখ্যা)
  ১ ১ ০ ১ . ১ ০ ১
+ ১ ০ ১ ১ . ১ ১ ০  (বামে ০ দিয়ে ৩ বিট করা হলো)
-------------------
১ ১ ০ ০ ১ . ০ ১ ১

ধাপসমূহ:
১. একদম ডানদিক থেকে: ১+০=১ (হাতে ০)
২. পরের বিট: ০+১=১ (হাতে ০)
৩. পরের বিট: ১+১=১০ -> ০ বসে, হাতে ১ (এই ১ দশমিকের বামে চলে আসবে)
৪. দশমিকের পরের ১ম বিট: ১+১+(হাতের ১)=১১ -> ১ বসে, হাতে ১
৫. এভাবে বামদিকের বাকি বিটগুলো যোগ করে চূড়ান্ত ফলাফল পাওয়া যায়: $১১০০১.০১১_২$

বাইনারি বিয়োগ (Binary Subtraction): ধার নেয়ার জটিলতা

বাইনারি বিয়োগ শিক্ষার্থীদের কাছে কিছুটা বিভ্রান্তিকর হতে পারে, বিশেষ করে যখন 'ধার' বা 'Borrow' করার প্রয়োজন হয়। দশমিক বিয়োগে যেমন ছোট সংখ্যা থেকে বড় সংখ্যা বিয়োগ করতে হলে আমরা বামের ঘর থেকে ১০ ধার নিই, বাইনারিতে আমরা ২ (বাইনারি বেস) ধার নিই।

মৌলিক নিয়ম:
- $০ - ০ = ০$
- $১ - ১ = ০$
- $১ - ০ = ১$
- $০ - ১ = ১$ (হাতে ধার ১ থাকে)

গুরুত্বপূর্ণ (Important):
ধার নেয়ার সহজ নিয়ম: যখনই ০ থেকে ১ বিয়োগ করতে হবে, তখনই বামের ঘর থেকে ২ (বাইনারি ১০) ধার নিতে হবে। এই ২ থেকে ১ বিয়োগ করলে ফলাফল ১ থাকে। আর বামের ঘর থেকে যে ১ আমরা 'ধার' নিয়েছি, তা পরবর্তী ধাপে নিচের সংখ্যার সাথে যোগ করে (বা উপরের সংখ্যা থেকে কমিয়ে) সমন্বয় করতে হয়।

উদাহরণ (Worked Example):
বিয়োগ কর: $১০০০_২ - ১_২$

সমাধান:

   ১ ০ ০ ০
 -       ১
 ---------
  1. ডানের কলাম: ০ থেকে ১ বিয়োগ করা যায় না। বামে সব ০। তাই একদম বামের ১ থেকে ধার নিতে হবে।
  2. বামের ১ থেকে ধার নিলে সেটি ০ হয়ে যায়। এই ধার ডানের ঘরগুলোতে গড়াতে গড়াতে আসে। মাঝখানের ০ গুলো ১ হয়ে যায় এবং শেষের ০ টি ১০ (দশমিক ২) হয়।
  3. এখন, ২ - ১ = ১।
  4. মাঝখানের কলামগুলোতে এখন ১ আছে, নিচে কিছু নেই (মানে ০)। তাই ১ - ০ = ১।
  5. এভাবে ফলাফল আসে: $১১১_২$।

সহজ কথায়: ১০০০ (৮) - ১ = ১১১ (৭)।

চিহ্নযুক্ত সংখ্যা (Signed Number) ও মেমোরি রেজিস্টার

কম্পিউটারে গাণিতিক কাজের জন্য ধনাত্মক (+) ও ঋণাত্মক (-) উভয় ধরনের সংখ্যার প্রয়োজন হয়। সাধারণ বা 'Unsigned' সংখ্যায় শুধু মান থাকে, কিন্তু 'Signed' বা চিহ্নযুক্ত সংখ্যায় মানের সাথে চিহ্নও থাকে। যেহেতু কম্পিউটার প্লাস বা মাইনাস চিহ্ন বোঝে না, তাই সংখ্যার একটি বিটকে চিহ্নের জন্য বরাদ্দ রাখা হয়।

একটি ৮-বিট রেজিস্টারের চিত্র, যেখানে বামের ১ম বিটটি 'Sign Bit' এবং বাকি ৭টি বিট 'Data Bit' হিসেবে চিহ্নিত। ০ এবং ১ এর জন্য + এবং - চিহ্ন নির্দেশ করা হয়েছে।

সংজ্ঞা (Signed Number): কম্পিউটারে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় ধরনের সংখ্যা প্রকাশের জন্য মূল সংখ্যার সাথে একটি অতিরিক্ত চিহ্ন বিট (Sign Bit) যুক্ত করে যে সংখ্যা গঠন করা হয়, তাকে চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বা Signed Number বলে।

একটি ৮-বিট রেজিস্টারে (৮টি ঘর বা ফ্লিপ-ফ্লপ) কোনো সংখ্যা রাখলে, একদম বামের বিটটিকে বলা হয় সর্বোচ্চ গুরুত্বের বিট (MSB - Most Significant Bit)। চিহ্নযুক্ত সংখ্যার ক্ষেত্রে এই MSB-কে সাইন বিট (Sign Bit) হিসেবে ব্যবহার করা হয়।

সংজ্ঞা (Sign Bit): রেজিস্টারের সর্বোচ্চ গুরুত্বের বিট বা MSB-কে সাইন বিট বলে। এই বিটটি ০ হলে সংখ্যাটি ধনাত্মক (+) এবং ১ হলে সংখ্যাটি ঋণাত্মক (-) ধরা হয়।

মেমোরি রেজিস্টার

রেজিস্টার হলো সিপিইউ-এর ভেতরের খুব দ্রুতগতির মেমোরি। সচরাচর ৮-বিট, ১৬-বিট, ৩২-বিট বা ৬৪-বিটের রেজিস্টার হয়। আমাদের পাঠ্যক্রমে সাধারণত ৮-বিট রেজিস্টার বা '১ বাইট' নিয়ে আলোচনা করা হয়। ৮-বিট রেজিস্টারে ১ম বিট চিহ্নের জন্য এবং বাকি ৭টি বিট সংখ্যার মানের (Magnitude) জন্য ব্যবহৃত হয়।

পদ্ধতি ১: প্রকৃত মান গঠন (Sign Magnitude Form)

এটি চিহ্নযুক্ত সংখ্যা প্রকাশের সবচেয়ে সরল পদ্ধতি। এতে সংখ্যার প্রকৃত বাইনারি মানের আগে শুধু একটি সাইন বিট বসিয়ে দেওয়া হয়।

গঠন প্রণালী:
১. সংখ্যাটির প্রকৃত বাইনারি মান বের করতে হবে।
২. নির্দিষ্ট রেজিস্টার (যেমন ৮-বিট) অনুযায়ী বামে প্রয়োজনীয় সংখ্যক শূন্য বসিয়ে বিট পূরণ করতে হবে (৭টি বিট)।
৩. সবশেষে একদম বামে সাইন বিট বসাতে হবে (পজিটিভ হলে ০, নেগেটিভ হলে ১)।

উদাহরণ: ৮-বিট রেজিস্টারে $+১৩$ এবং $-১৩$ এর প্রকৃত মান গঠন:

১৩ এর বাইনারি = $১১০১$
৭ বিট ডাটা = $০০১১০১$

  • +১৩: সাইন বিট ০, তাই $০$ $০০১১০১$ = $০০০০১১০১$
  • -১৩: সাইন বিট ১, তাই $১$ $০০১১০১$ = $১০০০১১০১$

$$Range = -(2^{n-1} - 1) \text{ to } +(2^{n-1} - 1)$$
যেখানে $n$ হলো বিট সংখ্যা।
৮-বিট রেজিস্টারের জন্য এই পদ্ধতিতে সংখ্যার সীমা হলো: $-(2^{7} - 1)$ থেকে $+(2^{7} - 1)$ বা $-127$ থেকে $+127$।

সীমাবদ্ধতা (Limitations):
১. শূন্যের দুটি মান: এই পদ্ধতিতে $+০$ ($০০০০০০০০$) এবং $-০$ ($১০০০০০০০$) নামে দুটি আলাদা বাইনারি মান পাওয়া যায়, যা গাণিতিকভাবে অযৌক্তিক এবং কম্পিউটারের লজিক সার্কিটে জটিলতা সৃষ্টি করে।
২. জটিল সার্কিট: যোগ-বিয়োগের জন্য এই পদ্ধতিতে আলাদা আলাদা সার্কিট এবং জটিল অ্যালগরিদম প্রয়োজন হয়। একারণে আধুনিক কম্পিউটারে এটি ব্যবহার করা হয় না।

পদ্ধতি ২: ১-এর পরিপূরক (1's Complement)

কম্পিউটারের সার্কিট সহজ করার লক্ষ্যে এই পদ্ধতির উদ্ভব। এটি মূলত কোনো বাইনারি সংখ্যার বিটগুলোকে উল্টিয়ে দেওয়ার প্রক্রিয়া।

সংজ্ঞা (1's Complement): কোনো বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি বিটকে পূরক করে বা উল্টিয়ে (০-এর স্থলে ১ এবং ১-এর স্থলে ০ বসিয়ে) যে নতুন সংখ্যা পাওয়া যায়, তাকে ওই সংখ্যার ১-এর পরিপূরক বলে।

হার্ডওয়্যারে 'NOT Gate' ব্যবহার করে এটি খুব দ্রুত করা যায়। এটি ২-এর পরিপূরক (যা বর্তমানে সব কম্পিউটারে ব্যবহৃত হয়) তৈরির প্রথম ধাপ হিসেবে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ (Worked Example):
$-২২$ সংখ্যাটিকে ১-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে ৮-বিট রেজিস্টারে দেখাও।

সমাধান:
ধাপ ১: প্রথমে $+২২$ এর বাইনারি বের করি।
$২২ = ১০১১০_২$

ধাপ ২: ৮-বিট রেজিস্টারে সাজাই (বামে শূন্য দিয়ে)।
$+২২ = ০০১০১১০$

ধাপ ৩: বিটগুলো উল্টে দেই (০ $\rightarrow$ ১, ১ $\rightarrow$ ০)।
১-এর পরিপূরক = $১১০১০০১$

সুতরাং, ১-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে $-২২$ হলো $১১০১০০১$।

সীমাবদ্ধতা: প্রকৃত মান গঠনের মতোই, ১-এর পরিপূরক পদ্ধতিতেও শূন্যের দুটি রূপ থাকে ($+০$ এবং $-০$), যা গাণিতিক কাজের জন্য আদর্শ নয়। তবে ২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে এই সমস্যার সমাধান করা হয়েছে (যা আমরা পরবর্তী পাঠে জানব)।

তুলনামূলক আলোচনা ও সারসংক্ষেপ

নিচে একটি ৮-বিট সংখ্যার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির তুলনা দেখানো হলো:

বৈশিষ্ট্য প্রকৃত মান (Sign Magnitude) ১-এর পরিপূরক (1's Complement)
গঠন সাইন বিট বাদে বাকি সব ঠিক থাকে সব বিট উল্টে যায় (ইনভার্স হয়)
ধনাত্মক সংখ্যা একই থাকে (যেমন: $+5 = 00000101$) একই থাকে (যেমন: $+5 = 00000101$)
ঋণাত্মক সংখ্যা শুধু MSB ১ হয় সম্পূর্ণ উল্টানো রূপ
শূন্য (0) $+0$ ও $-0$ (দুটি মান) $+0$ ও $-0$ (দুটি মান)

সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Quick Revision):
- বাইনারি যোগে ১+১=১০ (০ নামে, ১ হাতে থাকে) এবং ১+১+১=১১ (১ নামে, ১ হাতে থাকে)।
- চিহ্নযুক্ত সংখ্যায় রেজিস্টারের একদম বামের বিট (MSB) হলো সাইন বিট। ০ = পজিটিভ, ১ = নেগেটিভ।
- প্রকৃত মান পদ্ধতিতে শুধু সাইন বিট পরিবর্তন করে নেগেটিভ করা হয়, কিন্তু এতে সার্কিট জটিল হয়।
- ১-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে সব বিট উল্টে (Invert) দিয়ে নেগেটিভ মান পাওয়া যায়।
- উভয় পদ্ধতিতে 'শূন্য' এর দুটি মান থাকার সমস্যা বিদ্যমান।

পরীক্ষা প্রস্তুতি (Exam Focus)

পরীক্ষার টিপস (Exam Tip):
- এমসিকিউ সতর্কতা: প্রশ্নে যদি বলা থাকে "১-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে -৫ কত?", তবে প্রথমে +৫ এর ৮-বিট রূপ লিখবে, তারপর সেটাকে উল্টাবে। সরাসরি ৫ এর বাইনারি লিখে দিও না।
- রেজিস্টার সাইজ: সাধারণত ৮-বিট রেজিস্টার উল্লেখ থাকে। যদি ১৬-বিট বলা হয়, তবে বামে আরও ৮টি শূন্য যোগ করে নিতে হবে।
- সাইন বিট চেক: যেকোনো বাইনারি সংখ্যা দেখে সেটি পজিটিভ না নেগেটিভ বুঝতে হলে শুধু বামের বিটটি দেখবে।

শব্দকোষ (Glossary)

পরিভাষা সংজ্ঞা
সাইন বিট (Sign Bit) বাইনারি সংখ্যার সর্ববামে অবস্থিত বিট যা সংখ্যার চিহ্ন (+ বা -) নির্দেশ করে।
এমএসবি (MSB) Most Significant Bit বা সর্বোচ্চ গুরুত্বের বিট, যা সাধারণত সাইন বিট হিসেবে ব্যবহৃত হয়।
রেজিস্টার (Register) সিপিইউ এর অভ্যন্তরে অবস্থিত দ্রুতগতির মেমোরি, যেখানে বিটগুলো সংরক্ষিত থাকে।
১-এর পরিপূরক বাইনারি সংখ্যার ০ কে ১ এবং ১ কে ০ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত সংখ্যা।
রেডিক্স পয়েন্ট বাইনারি সংখ্যায় পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশকে পৃথককারী বিন্দু (দশমিক বিন্দুর মতো)।

অনুশীলনের প্রশ্ন

সৃজনশীল প্রশ্ন

সৃজনশীল প্রশ্ন ১

রাইয়ান ও ফারহান দুই বন্ধু তাদের আইসিটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর বাইনারিতে লিখেছে। রাইয়ানের নম্বর $(১১০১১০)_২$ এবং ফারহানের নম্বর $(১০১১১০)_২$। রাইয়ান বলল, "আমরা সাধারণ ডেসিমেল যোগ না করে কম্পিউটারের মতো বাইনারি যোগ করব।" এরপর তারা ঋণাত্মক সংখ্যা বা চিহ্নযুক্ত সংখ্যা (Signed Number) নিয়েও আলোচনা করল।

ক) চিহ্ন বিট (Sign Bit) কী?
খ) ১ এর পরিপূরক বলতে কী বোঝ?
গ) উদ্দীপকে উল্লেখিত রাইয়ান ও ফারহানের নম্বরের যোগফল বাইনারিতে নির্ণয় কর।
ঘ) ৮-বিট রেজিস্টারে -২৫ (মাইনাস ২৫) সংখ্যাটি কীভাবে সংরক্ষিত হবে? ২ এর পরিপূরক পদ্ধতির আলোকে বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

(ক) বাইনারি পদ্ধতিতে কোনো সংখ্যা ধনাত্মক না ঋণাত্মক তা বোঝানোর জন্য সংখ্যার সর্ববামে যে অতিরিক্ত বিট ব্যবহার করা হয়, তাকে চিহ্ন বিট বা Sign Bit বলে।

(খ) বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি বিটকে উল্টিয়ে অর্থাৎ ০ এর জায়গায় ১ এবং ১ এর জায়গায় ০ বসিয়ে যে মান পাওয়া যায়, তাকে ওই সংখ্যার ১ এর পরিপূরক (1's Complement) বলে। এটি ঋণাত্মক সংখ্যা প্রকাশের একটি পদ্ধতি, তবে বর্তমানে ২ এর পরিপূরক পদ্ধতি বেশি ব্যবহৃত হয়।

(গ) উদ্দীপকে রাইয়ানের নম্বর = $(১১০১১০)_২$ এবং ফারহানের নম্বর = $(১০১১১০)_২$।
তাদের নম্বরের বাইনারি যোগফল নিচে দেখানো হলো:

১ ১ ০ ১ ১ ০ (রাইয়ান)
+ ১ ০ ১ ১ ১ ০ (ফারহান)

১ ১ ০ ০ ১ ০ ০

যোগের ধাপগুলো:
১. ০+০ = ০
২. ১+১ = ১০ (০ বসবে, হাতে ১)
৩. ১+১+হাতের ১ = ১১ (১ বসবে, হাতে ১)
৪. ০+১+হাতের ১ = ১০ (০ বসবে, হাতে ১)
৫. ১+০+হাতের ১ = ১০ (০ বসবে, হাতে ১)
৬. ১+১+হাতের ১ = ১১ (পুরোটাই বসে যাবে)

নির্ণেয় যোগফল: $(১১০০১০০)_২$

(ঘ) কম্পিউটারে ঋণাত্মক সংখ্যা সংরক্ষণের জন্য সাধারণত ২ এর পরিপূরক (2's Complement) পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। ৮-বিট রেজিস্টারে -২৫ সংরক্ষণের ধাপগুলো নিচে বিশ্লেষণ করা হলো:

ধাপ ১: ২৫ এর প্রকৃত মান (True Value) বের করা।
২৫ = ১৬ + ৮ + ১ = $(১১০0১)_২$
৮-বিট রেজিস্টারে এটি হবে: ০০০০১১০১

ধাপ ২: ১ এর পরিপূরক নির্ণয়।
বিটগুলোকে উল্টিয়ে পাই: ১১১১০০১০

ধাপ ৩: ২ এর পরিপূরক নির্ণয় (১ এর পরিপূরকের সাথে ১ যোগ)।
১ ১ ১ ১ ০ ০ ১ ০
+ ১

১ ১ ১ ১ ০ ০ ১ ১

ফলাফল: ৮-বিট রেজিস্টারে -২৫ সংখ্যাটি ১১১১০১১ হিসেবে সংরক্ষিত হবে।
এখানে সর্ববামের বিট (MSB) হলো ১, যা নির্দেশ করে সংখ্যাটি ঋণাত্মক।

সৃজনশীল প্রশ্ন ২

একটি কম্পিউটার সিস্টেমে গাণিতিক কাজের জন্য প্রথমে 'চিহ্ন-মান' (Sign-Magnitude) পদ্ধতি ব্যবহার করা হতো। কিন্তু এতে 'শূন্য' (0) এর মান নিয়ে একটি অযৌক্তিক সমস্যা দেখা দেয়। পরবর্তীতে ইঞ্জিনিয়াররা ১ এর পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহারের কথা ভাবেন, কিন্তু সেখানেও একই সমস্যা থেকে যায়। অবশেষে তারা ২ এর পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে এই সমস্যার সমাধান করেন এবং বর্তনী সরলীকরণ করেন।

ক) বাইনারি যোগের ক্ষেত্রে ১+১+১ সমান কত?
খ) ২ এর পরিপূরক পদ্ধতি কেন প্রয়োজন?
গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত 'চিহ্ন-মান' পদ্ধতিতে শূন্য (0) এর সমস্যাটি ব্যাখ্যা কর।
ঘ) ঋণাত্মক সংখ্যা উপস্থাপনে চিহ্ন-মান অপেক্ষা ১ এর পরিপূরক বা ২ এর পরিপূরক কেন ভালো? উদ্দীপকের আলোকে বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

(ক) বাইনারি যোগের ক্ষেত্রে ১+১+১ সমান $(১১)_২$। (দশমিকে এর মান ৩)।

(খ) কম্পিউটারে বিয়োগের কাজ যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করার জন্য এবং ঋণাত্মক সংখ্যাকে সহজে উপস্থাপনের জন্য ২ এর পরিপূরক পদ্ধতি প্রয়োজন। এই পদ্ধতিতে +০ এবং -০ এর বিভ্রান্তি থাকে না এবং গাণিতিক বর্তনী সরল হয়।

(গ) উদ্দীপকে 'চিহ্ন-মান' (Sign-Magnitude) পদ্ধতিতে শূন্য (0) নিয়ে যে সমস্যাটি উল্লেখ করা হয়েছে তা হলো শূন্যের দুটি ভিন্ন রূপ।
৮-বিট রেজিস্টারে:
- +০ কে লেখা হয় ০০০০০০০০ (চিহ্ন বিট ০)
- -০ কে লেখা হয় ১০০০০০০০ (চিহ্ন বিট ১)

বাস্তবে শূন্যের কোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মান নেই; শূন্য একটিই। কিন্তু চিহ্ন-মান পদ্ধতিতে একই সংখ্যার দুটি ভিন্ন বাইনারি রূপ থাকায় কম্পিউটার সিস্টেমে লজিক্যাল জটিলতা ও অপচয় তৈরি হয়।

(ঘ) ঋণাত্মক সংখ্যা উপস্থাপনে চিহ্ন-মান ও ১ এর পরিপূরক পদ্ধতির চেয়ে ২ এর পরিপূরক পদ্ধতি শ্রেষ্ঠ। নিচে তা বিশ্লেষণ করা হলো:

  1. শূন্যের একক উপস্থাপন:
    চিহ্ন-মান এবং ১ এর পরিপূরক—উভয় পদ্ধতিতেই শূন্যের দুটি মান থাকে (+0 ও -0)। কিন্তু ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে শূন্যের কেবল একটিই রূপ (০০০০০০০০) থাকে, যা গাণিতিক বিভ্রান্তি দূর করে।

  2. বর্তনী সরলীকরণ:
    চিহ্ন-মান পদ্ধতিতে যোগ ও বিয়োগের জন্য ভিন্ন ভিন্ন বর্তনীর প্রয়োজন হয়। কিন্তু ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে বিয়োগের কাজও যোগের বর্তনী (Adder Circuit) দিয়ে করা যায়। ফলে কম্পিউটারের হার্ডওয়্যার খরচ ও জটিলতা কমে।

  3. গাণিতিক গতি:
    ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে গাণিতিক অপারেশন দ্রুত সম্পন্ন হয় কারণ এখানে ক্যারি বিট বা এন্ড-এরাউন্ড ক্যারির অতিরিক্ত যোগের প্রয়োজন হয় না, যা ১ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে দরকার হয়।

সিদ্ধান্ত: উদ্দীপকের সমস্যাটি (শূন্যের দ্বৈত রূপ) এবং হার্ডওয়্যার জটিলতা নিরসনে ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিই সবচেয়ে কার্যকর ও আধুনিক।

এমসিকিউ

১। বাইনারি যোগের ক্ষেত্রে ১ + ১ = কত?

ক) ০
খ) ১
গ) ১০
ঘ) ১১

সঠিক উত্তর: গ) ১০

ব্যাখ্যা: বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে ১ এর সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ০ হয় এবং হাতে ১ থাকে (Carry), যা বাম পাশের বিটে যুক্ত হয়। তাই ১+১ = ১০।

২। বাইনারি যোগের ক্ষেত্রে ১ + ১ + ১ = কত?

ক) ১০
খ) ১১
গ) ১০০
ঘ) ১০১

সঠিক উত্তর: খ) ১১

ব্যাখ্যা: ১+১=১০, এবং ১০+১=১১। তাই তিনটি ১ যোগ করলে ফলাফল ১১ হয় (দশমিকে ৩)।

৩। (১০১)₂ + (১১)₂ = কত?

ক) ১০০০
খ) ১১০০
গ) ১০১০
ঘ) ১১১০

সঠিক উত্তর: ক) ১০০০

ব্যাখ্যা:
১০১
+ ১১

১০০০
(১+১=১০ এর ০, হাতে ১; ০+১+১=১০ এর ০, হাতে ১; ১+১=১০)।

৪। বাইনারি যোগে ক্যারি (Carry) বিট কোথায় যুক্ত হয়?

ক) পরবর্তী বিটে (MSB)
খ) পূর্ববর্তী বিটে (LSB)
গ) ফলাফলের শেষে
ঘ) কোথাও যুক্ত হয় না

সঠিক উত্তর: ক) পরবর্তী বিটে (MSB)

ব্যাখ্যা: যোগ করার সময় কোনো কলামে যদি যোগফল বেইজের (২) সমান বা বেশি হয়, তবে ক্যারি তৈরি হয় এবং তা পরবর্তী উচ্চতর স্থানীয় মানের বিটে (MSB-এর দিকে) যুক্ত হয়।

৫। (১০০০)₂ + (১)₂ = ?

ক) ১০০১
খ) ১০১০
গ) ১১০০
ঘ) ১০১১

সঠিক উত্তর: ক) ১০০১

ব্যাখ্যা: ১০০০ এর সাথে ১ যোগ করলে শেষ বিটে ০+১=১ হয়, বাকি বিট অপরিবর্তিত থাকে।

৬। বাইনারি বিয়োগে ১০ - ১ = কত?

ক) ০
খ) ১
গ) ১০
ঘ) ১১

সঠিক উত্তর: খ) ১

ব্যাখ্যা: বাইনারি বিয়োগে ০ থেকে ১ বিয়োগ করা যায় না, তাই বাম পাশ থেকে ১ ধার (Borrow) করতে হয়। তখন ১০-১=১ হয়।

৭। (১০০)₂ - (১)₂ = কত?

ক) ১০
খ) ১১
গ) ১০১
ঘ) ১কে

সঠিক উত্তর: খ) ১১

ব্যাখ্যা: ১০০ থেকে ১ বিয়োগ করলে ১১ পাওয়া যায়। (দশমিকে ৪-১=৩, যা বাইনারিতে ১১)।

৮। বাইনারি বিয়োগের ক্ষেত্রে ০ - ১ = ?

ক) ১ (হাতে ১ থাকে)
খ) ০
গ) ১০
ঘ) ১১

সঠিক উত্তর: ক) ১ (হাতে ১ থাকে)

ব্যাখ্যা: ০ থেকে ১ বিয়োগ করতে হলে বামের বিট থেকে ১ ধার (Borrow) করতে হয়, যা বর্তমান অবস্থানে ২ এর সমান হয়। ২-১=১ হয় এবং ধার করা ১ ফেরত দিতে হয় বা হাতে থাকে।

৯। চিহ্নযুক্ত সংখ্যার ক্ষেত্রে সাইন বিট (Sign Bit) কোথায় থাকে?

ক) সবার ডানে (LSB)
খ) সবার বামে (MSB)
গ) মাঝখানে
ঘ) যেকোনো স্থানে

সঠিক উত্তর: খ) সবার বামে (MSB)

ব্যাখ্যা: রেজিস্টারের সর্বোচ্চ গুরুত্বের বিট (Most Significant Bit - MSB) বা সর্ববামের বিটটিকে চিহ্ন বিট হিসেবে ব্যবহার করা হয়।

১০। চিহ্ন বিট ০ হলে সংখ্যাটি কেমন হয়?

ক) ঋণাত্মক
খ) ধনাত্মক
গ) শূন্য
ঘ) অসীম

সঠিক উত্তর: খ) ধনাত্মক

ব্যাখ্যা: চিহ্ন বিট ০ হলে সংখ্যাটি ধনাত্মক (+) এবং ১ হলে সংখ্যাটি ঋণাত্মক (-) ধরা হয়।

১১। ৮-বিট রেজিস্টারে একটি সংখ্যার মান ১১১০০১০১। সংখ্যাটি—
i. ঋণাত্মক
ii. বিজোড়
iii. ১ এর পরিপূরক হতে পারে

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা: MSB ১ তাই ঋণাত্মক। LSB ১ তাই বিজোড়। যেকোনো বিট প্যাটার্নই কারো ১ এর পরিপূরক হতে পারে।

১২। ৮-বিট রেজিস্টারে ডাটা বিট কয়টি?

ক) ৭টি
খ) ৮টি
গ) ১৬টি
ঘ) ৩২টি

সঠিক উত্তর: ক) ৭টি

ব্যাখ্যা: ৮-বিট রেজিস্টারে ১টি বিট চিহ্ন (Sign) বিট এবং বাকি ৭টি বিট ডাটা বা মান (Magnitude) বিট হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

১৩। ১ এর পরিপূরক (1's Complement) গঠনে কী করা হয়?

ক) ১ যোগ করা হয়
খ) ১ বিয়োগ করা হয়
গ) বিট উল্টানো হয় (Invert)
ঘ) কিছুই করা হয় না

সঠিক উত্তর: গ) বিট উল্টানো হয় (Invert)

ব্যাখ্যা: ১ এর পরিপূরক গঠনে ০ কে ১ এবং ১ কে ০ দ্বারা পরিবর্তন বা ইনভার্ট করা হয়।

১৪। (১০১০)₂ এর ১ এর পরিপূরক কত?

ক) ১০১০
খ) ০১০১
গ) ১১১১
ঘ) ০০০০

সঠিক উত্তর: খ) ০১০১

ব্যাখ্যা: ১ কে ০ এবং ০ কে ১ করলে ১০১০ হয়ে যায় ০১০১।

১৫। কোন লজিক গেট ব্যবহার করে ১ এর পরিপূরক তৈরি করা যায়?

ক) AND
খ) OR
গ) NOT
ঘ) XOR

সঠিক উত্তর: গ) NOT

ব্যাখ্যা: NOT গেট ইনপুটকে ইনভার্ট করে (০ হলে ১, ১ হলে ০), যা ১ এর পরিপূরক তৈরির মূল কাজ।

১৬। (১১১১)₂ এর ১ এর পরিপূরক কত?

ক) ১১১১
খ) ০০০০
গ) ১০০০
ঘ) ০১১১

সঠিক উত্তর: খ) ০০০০

ব্যাখ্যা: সব বিট উল্টিয়ে দিলে ১১১১ হয়ে যায় ০০০০।

১৭। ১ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে ০ (শূন্য) এর কয়টি মান থাকে?

ক) ১টি
খ) ২টি
গ) ৩টি
ঘ) ৪টি

সঠিক উত্তর: খ) ২টি

ব্যাখ্যা: ১ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে +০ (০০০০০০০০) এবং -০ (১১১১১১১১)—এই দুটি ভিন্ন মান থাকে।

১৮। ৮-বিট রেজিস্টারে চিহ্নযুক্ত সংখ্যার রেঞ্জ কত?

ক) ০ থেকে ২৫৫
খ) -১২৮ থেকে +১২৭
গ) -১২৭ থেকে +১২৮
ঘ) -২৫৫ থেকে +২৫৫

সঠিক উত্তর: খ) -১২৮ থেকে +১২৭

ব্যাখ্যা: ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে ৮-বিট রেজিস্টারে -২^৭ থেকে +(২^৭ - ১) পর্যন্ত অর্থাৎ -১২৮ থেকে +১২৭ পর্যন্ত সংখ্যা সংরক্ষণ করা যায়।

১৯। ১৬-বিট রেজিস্টারে সর্বোচ্চ কত মানের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা রাখা যায় (চিহ্নযুক্ত)?

ক) ৩২৭৬৭
খ) ৩২৭৬৮
গ) ৬৫৫৩৫
ঘ) ৬৫৫৩৬

সঠিক উত্তর: ক) ৩২৭৬৭

ব্যাখ্যা: ১৬-বিট চিহ্নযুক্ত সংখ্যায় ১টি বিট সাইন, ১৫টি ডাটা। সর্বোচ্চ মান ২^১৫ - ১ = ৩২৭৬৭।

২০। ২ এর পরিপূরক নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

ক) ১ এর পরিপূরক + ১
খ) ১ এর পরিপূরক - ১
গ) ১ এর পরিপূরক × ১
ঘ) ১ এর পরিপূরক ÷ ১

সঠিক উত্তর: ক) ১ এর পরিপূরক + ১

ব্যাখ্যা: কোনো সংখ্যার ১ এর পরিপূরকের সাথে ১ যোগ করলে ২ এর পরিপূরক পাওয়া যায়।

উদ্দীপকটি পড়ে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
একটি রেজিস্টারে -৫ সংখ্যাটি ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে সংরক্ষিত আছে।

২১। ৫ এর প্রকৃত মান (True Value) ৮-বিটে কত?

ক) ০০০০০০১০
খ) ০০০০০০১১
গ) ০০০০০০১০১
ঘ) ০০০০০০১০১ (সঠিক ৫ বিট) → ০০০০০০১০১ হবে না, ০০০০০০১০১ (৯ বিট)। সঠিক: ০০০০০০১০১ (না)। ৫ = ১০১। ৮ বিটে: ০০০০০০১০১।

সংশোধন: ৫ = ১০১। ৮-বিটে: ০০০০০০১০১ (না, ৫ বিট প্যাডিং)। ৫ এর বাইনারি ১০১। ৮ বিটে ০০০০০১০১।

ক) ০০০০০১০১
খ) ১১১১১০১০
গ) ১১১১১০১১
ঘ) ১০১

সঠিক উত্তর: ক) ০০০০০১০১

ব্যাখ্যা: ৫ এর বাইনারি ১০১। ৮-বিট রেজিস্টারে বামে ৫টি শূন্য দিয়ে ৮ বিট পূর্ণ করলে হয় ০০০০০১০১।

২২। ২ এর পরিপূরক বা সংরক্ষিত রূপটি কত হবে?

ক) ১১১১১০১০
খ) ১১১১১০১১
গ) ১১১১১১০০
ঘ) ১০১

সঠিক উত্তর: খ) ১১১১১০১১

ব্যাখ্যা:
৫ = ০০০০০১০১
১ এর পরিপূরক = ১১১১১০১০
+ ১

২ এর পরিপূরক = ১১১১১০১১ (-৫)

২৩। ২ এর পরিপূরক পদ্ধতির প্রধান সুবিধা কোনটি?

ক) বর্তনী জটিল
খ) যোগ ও বিয়োগের জন্য একই বর্তনী ব্যবহার করা যায়
গ) ধীর গতি
ঘ) মেমরি বেশি লাগে

সঠিক উত্তর: খ) যোগ ও বিয়োগের জন্য একই বর্তনী ব্যবহার করা যায়

ব্যাখ্যা: ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে বিয়োগকে যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করা যায়, ফলে অ্যাডার (Adder) সার্কিট দিয়েই সব কাজ করা সম্ভব।

২৪। ঋণাত্মক সংখ্যার মান বের করার জন্য কম্পিউটার কোন পদ্ধতি ব্যবহার করে?

ক) চিহ্ন-মান
খ) ১ এর পরিপূরক
গ) ২ এর পরিপূরক
ঘ) বিসিডি

সঠিক উত্তর: গ) ২ এর পরিপূরক

ব্যাখ্যা: আধুনিক সব কম্পিউটারে ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য ২ এর পরিপূরক (2's Complement) পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়।

২৫। -১৩ সংখ্যাটি ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে ৮-বিটে কত হবে?

ক) ১১১১০১০১
খ) ১১১১০১০১
গ) ১১১১০০১১
ঘ) ১১১১০০১০

সঠিক উত্তর: গ) ১১১১০০১১

ব্যাখ্যা:
১৩ = ০০০০১১১০১ (৮ বিট: ০০০০১১০১)
১ এর পরিপূরক = ১১১১০০১০
+ ১

২ এর পরিপূরক = ১১১১০০১১