বুলিয়ান অ্যালজেবরা ও ডি-মরগ্যান এর উপপাদ্য

বুলিয়ান অ্যালজেবরা ও ডি-মরগ্যান এর উপপাদ্য

সুপ্রিয় শিক্ষার্থীবৃন্দ, আশা করি তোমরা সবাই ভালো আছো। আজকের লেকচারটি তোমাদের এইচএসসি আইসিটি সিলেবাসের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এখান থেকেই লজিক গেইট এবং ডিজিটাল সার্কিটের ভিত্তি তৈরি হবে। আজ আমরা বুলিয়ান অ্যালজেবরা নামক লজিকের এক জাদুকরী জগত নিয়ে আলোচনা করব। এই লেকচার শেষে আমরা- ১। বুলিয়ান অ্যালজেবরা ও এর বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারব। ২। বুলিয়ান চলক, ধ্রুবক ও পূরক সম্পর্কে বর্ণনা করতে পারব। ৩। বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ ও উপপাদ্যগুলো প্রমাণ করতে পারব। ৪। সত্যক সারণি বা Truth Table তৈরি করতে পারব এবং ৫। ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য বিশ্লেষণ ও প্রমাণ করতে পারব। চলো তাহলে শুরু করা যাক।

১ + ১ = কত?

আচ্ছা, বলতো ১ আর ১ যোগ করলে কত হয়? তোমরা নিশ্চয়ই ছোটবেলা থেকে শিখে এসেছ ১ আর ১ যোগ করলে ২ হয়। কিন্তু আমি যদি বলি লজিকের জগতে ১ আর ১ যোগ করলে ১ হয়? অবাক হলে? আসলে বুলিয়ান অ্যালজেবরা সাধারণ গণিতের মতো নয়। এখানে ১ মানে সংখ্যা ১ নয়, ১ মানে হলো 'সত্য' বা সুইচ 'অন'। পাশের ছবিটা দেখো। দুটো সুইচ প্যারালালে আছে। তুমি যদি প্রথমটা অন করো বাতি জ্বলবে, দ্বিতীয়টা অন করলেও জ্বলবে, আবার দুটোই অন করলেও বাতি জ্বলবে। অর্থাৎ সত্য আর সত্য মিললে সত্যই হয়, দ্বিগুণ সত্য বলে কিছু নেই।

বুলিয়ান অ্যালজেবরা কী?

এই অদ্ভুত গণিতের জনক হলেন গণিতবিদ জর্জ বুলি। ১৮৫৪ সালে তিনি প্রথম লজিক নিয়ে কাজ শুরু করেন। বুলিয়ান অ্যালজেবরা মূলত দুটি অবস্থার ওপর ভিত্তি করে কাজ করে- সত্য এবং মিথ্যা, বা ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের ভাষায় হাই ভোল্টেজ এবং লো ভোল্টেজ। কম্পিউটার কিন্তু আমাদের সাধারণ সংখ্যা চেনে না, সে শুধু এই ০ আর ১ বোঝে। এই পুরো সিস্টেমটা মাত্র তিনটি মৌলিক কাজের ওপর দাঁড়িয়ে আছে- লজিক্যাল যোগ বা OR, লজিক্যাল গুণ বা AND, এবং লজিক্যাল উল্টানো বা NOT। এগুলো দিয়েই পৃথিবীর সকল জটিল ডিজিটাল ডিভাইস তৈরি।

বুলিয়ান চলক ও পূরক

এবার আসি চলক বা ভেরিয়েবলের ধারণায়। সাধারণ বীজগণিতের মতোই এখানেও আমরা A, B, C ইত্যাদি চলক ব্যবহার করি। তবে পার্থক্য হলো, সাধারণ গণিতে A এর মান যা খুশি তাই হতে পারে, কিন্তু বুলিয়ান অ্যালজেবরায় A এর মান হবে শুধু ০ অথবা ১। আর ধ্রুবক মানে যার মান ফিক্সড। এরপর খুব গুরুত্বপূর্ণ একটি কনসেপ্ট হলো পূরক বা কমপ্লিমেন্ট। সোজা কথায় 'উল্টোটা'। যদি ইনপুট ১ হয়, তার পূরক হবে ০। যদি ০ হয়, পূরক হবে ১। আর যদি কাউকে দুইবার উল্টাও? ধরো আলো নিভিয়ে আবার জ্বালালে, তাহলে তো সে আগের অবস্থায়ই ফিরে এল। তাই A ডাবল বার সমান A।

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Postulates)

বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যোগ এবং গুণের কিছু মৌলিক নিয়ম আছে, যেগুলোকে আমরা স্বতঃসিদ্ধ বলি। পাশের টেবিলটা খেয়াল করো। যোগের ক্ষেত্রে নিয়ম হলো- যেকোনো একটা ইনপুট ১ হলেই ফলাফল ১ হবে। তাই ০+১ বা ১+০ বা ১+১ সবক্ষেত্রেই উত্তর ১। শুধু যখন সবগুলো ০, তখনই উত্তর ০। আর গুণের বা AND এর নিয়ম হলো- সবগুলো ইনপুট ১ হতে হবে, তবেই ফলাফল ১ হবে। যদি একটাও ০ থাকে, পুরো গুণফল ০ হয়ে যাবে। এই নিয়মগুলো একদম ঠোঁটস্থ করে ফেলবে, কারণ সামনে এগুলোই বারবার লাগবে।

সত্যক সারণি (Truth Table)

লজিক সার্কিট ডিজাইন করার সময় আমরা একটা ম্যাপ ব্যবহার করি, যার নাম সত্যক সারণি বা Truth Table। এটা এমন একটা টেবিল যেখানে ইনপুট হিসেবে কী কী দেওয়া সম্ভব এবং তার জন্য আউটপুট কী আসবে, তার সবটা দেখানো থাকে। টেবিল কতটা বড় হবে তা নির্ভর করে ইনপুট সংখ্যার ওপর। সূত্রটা হলো টু টু দি পাওয়ার n। যদি ইনপুট দুটো হয়, যেমন A আর B, তাহলে কম্বিনেশন হবে ৪টি। যদি তিনটি হয়, তবে ৮টি। পাশের ছবিতে দেখো কীভাবে বাইনারি সিকোয়েন্স অনুযায়ী ০ আর ১ সাজাতে হয়।

মৌলিক বুলিয়ান উপপাদ্য (Single Variable)

এবার আমরা কিছু উপপাদ্য বা থিওরেম দেখব। এগুলো মুখস্থ করার চেয়ে বোঝা বেশি জরুরি। প্রথমটা দেখো, A+0=A। অর্থাৎ মিথ্যার সাথে কিছু যোগ করলে মানের পরিবর্তন হয় না। আবার A+A=A। সাধারণ গণিতে এটা 2A হতো, কিন্তু লজিকে আমি যদি বলি 'আমি ভাত খাব অথবা আমি ভাত খাব', তার মানে একটাই- 'আমি ভাত খাব'। তাই A+A=A। আর শেষেরটা খুব ইন্টারেস্টিং- A+A'=1। এর মানে হলো, হয় আজ বৃষ্টি হবে (A), অথবা বৃষ্টি হবে না (A')। এই দুটোর যেকোনো একটা তো সত্য হবেই! তাই এদের যোগফল সর্বদা ১ বা সত্য।

বিনিময় ও বিভাজন উপপাদ্য

বুলিয়ান অ্যালজেবরায় বিনিময় আর অনুষঙ্গ সূত্রগুলো সাধারণ বীগণিতের মতোই। A আর B এর জায়গা পাল্টালে ফলাফলের কোনো পরিবর্তন হয় না। তবে সাবধান থাকতে হবে বিভাজন বা Distributive Law নিয়ে। প্রথমটা সহজ, গুণের বন্টন। কিন্তু দ্বিতীয়টা খেয়াল করো- A + BC। এটা কিন্তু সাধারণ গণিতে হয় না। লজিকে এটা ভেঙে হয় (A+B) গুণ (A+C)। এই সূত্রটা ব্যবহার করে আমরা অনেক বড় বড় লজিক সার্কিটকে ছোট করে ফেলতে পারি। তাই এই সূত্রটা একদম ভালো করে মনে রাখবে।

ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য (De Morgan's Laws)

এখন আমরা লজিকের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ টপিক 'ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য' নিয়ে কথা বলব। এই সূত্র দুটি মনে রাখার একটা জাদুকরী উপায় আছে। আমরা বলি- 'Break the bar, change the sign'. অর্থাৎ ওপরের লম্বা বার বা ছাদটা ভেঙে যাবে, আর মাঝখানের চিহ্নটা পাল্টে যাবে। দেখো, প্রথম সূত্রে A+B এর ওপর বার ছিল। বারটা ভেঙে A আর B এর ওপর আলাদা হয়ে গেল, আর মাঝখানের যোগ চিহ্নটা গুণ হয়ে গেল। ঠিক একইভাবে গুণের ক্ষেত্রেও বার ভাঙলে গুণ চিহ্ন যোগ হয়ে যায়।

ডি-মরগ্যানের ১ম সূত্রের প্রমাণ (১ম ধাপ)

চলো এখন আমরা প্রমাণ করে দেখি ডি-মরগ্যানের কথা সত্য কি না। আমরা প্রথম সূত্রটা প্রমাণ করব। তোমরা খাতা-কলম নাও এবং আমার সাথে সাথে এই টেবিলটা আঁকো। যেহেতু চলক দুটো, তাই চারটা সারি হবে। ইনপুট কলামে আমরা বাইনারি নিয়মে ০০, ০১, ১০, ১১ বসাব। আমাদের লক্ষ্য হলো বামপক্ষ অর্থাৎ (A+B)' এবং ডানপক্ষ A'.B' এর মান বের করে মিলিয়ে দেখা।

ডি-মরগ্যানের ১ম সূত্রের প্রমাণ (সম্পূর্ণ)

এই স্লাইডে আমরা পুরো টেবিলটা পূরণ করেছি। দেখো, প্রথমে A আর B যোগ করেছি, তারপর সেটাকে উল্টে (A+B)' বের করেছি। অন্যদিকে, A কে উল্টে A' এবং B কে উল্টে B' বের করেছি। শেষে A' আর B' গুণ করেছি। এখন জাদুর মতো বিষয়টা খেয়াল করো- সবুজ রঙের দুটো কলামের দিকে তাকাও। দুটোর মানই হুবহু এক! ১, ০, ০, ০। যেহেতু ইনপুট যা-ই হোক না কেন, আউটপুট সবসময় মিলে যাচ্ছে, তাই আমরা বলতে পারি ডি-মরগ্যানের সূত্রটি প্রমাণিত।

বুলিয়ান দ্বৈত নীতি (Duality Principle)

লেকচারের শেষ দিকে আমরা একটা মজার জিনিস শিখব, সেটা হলো ডুয়ালিটি প্রিন্সিপাল বা দ্বৈত নীতি। এটা অনেকটা আয়নার মতো। এই নীতি বলে, যদি কোনো বুলিয়ান সমীকরণ সত্য হয়, তবে তার অপারেটরগুলো উল্টে দিলেও নতুন সমীকরণটি সত্য হবে। এখানে নিয়ম হলো- যেখানে প্লাস দেখবে সেখানে ডট বসাবে, আর যেখানে ১ দেখবে সেখানে ০ বসাবে। দেখো উদাহরণে, A+1=1 সমীকরণটির ডুয়াল বের করতে গিয়ে আমরা প্লাসকে ডট আর ১ কে ০ বানিয়ে দিয়েছি, ফলে হয়ে গেল A.0=0, যা নিজেও একটি সত্য সমীকরণ।

সারসংক্ষেপ

আজকের ক্লাসে আমরা লজিকের জগতটা এক্সপ্লোর করলাম। আমরা দেখলাম কীভাবে সাধারণ গণিতের বাইরে এসে সত্য-মিথ্যার গণিত কাজ করে। আমরা তিনটি মৌলিক অপারেশন এবং বেশ কিছু উপপাদ্য শিখেছি। বিশেষ করে ডি-মরগ্যানের সূত্রটা কিন্তু পরবর্তী ক্লাসে লজিক গেইট তৈরির সময় খুব কাজে লাগবে। আর সত্যক সারণি বা ট্রুথ টেবিল হলো লজিকের শুদ্ধতা যাচাইয়ের একমাত্র উপায়, তাই এটা প্র্যাকটিস করা জরুরি।

বাড়ির কাজ

তোমাদের জন্য ছোট দুটো বাড়ির কাজ থাকল। প্রথমত, আমরা ক্লাসে ২ চলক দিয়ে ডি-মরগ্যান প্রমাণ করেছি, তোমরা বাসায় ৩ চলক বা ৩ ইনপুট দিয়ে চেষ্টা করবে। মনে রাখবে, ৩ ইনপুট হলে সারি হবে ৮টি। আর দ্বিতীয় কাজ হলো বিভাজন উপপাদ্যের একটা প্রমাণ। একটু মাথা খাটালেই পারবে। যদি কোথাও আটকে যাও, ভিডিওটা আবার দেখবে অথবা কমেন্টে জানাবে। দেখা হবে লজিক গেইটের ক্লাসে। আল্লাহ হাফেজ।

সৃজনশীল প্রশ্ন

সৃজনশীল প্রশ্ন ১

আইসিটি ক্লাসে শিক্ষক বললেন, "সাধারণ গণিতে ১+১=২ হলেও বুলিয়ান অ্যালজেবরায় ১+১=১"। ছাত্ররা অবাক হলে শিক্ষক বুঝিয়ে বললেন, এই অ্যালজেবরা শুধুমাত্র লজিক বা যুক্তির ওপর ভিত্তি করে কাজ করে এবং এটি ডিজিটাল ডিভাইসের গাণিতিক ভিত্তি। এরপর তিনি ক্লাসে ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য নিয়ে আলোচনা করলেন এবং সত্যক সারণির মাধ্যমে তা প্রমাণ করে দেখালেন।

ক) বুলিয়ান অ্যালজেবরা কী?
খ) বুলিয়ান দ্বৈত নীতি (Duality Principle) ব্যাখ্যা কর।
গ) উদ্দীপকে শিক্ষকের "১+১=১" উক্তিটি বুলিয়ান যোগের নিয়মে ব্যাখ্যা কর।
ঘ) উদ্দীপকে উল্লিখিত ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি ২ চলকের জন্য সত্যক সারণিসহ প্রমাণ কর।

উত্তর

(ক)
জর্জ বুল প্রবর্তিত যে গণিত পদ্ধতিতে শুধুমাত্র লজিক বা যুক্তির সত্য (1) ও মিথ্যা (0) স্তরের ওপর ভিত্তি করে গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা হয়, তাকে বুলিয়ান অ্যালজেবরা বলে।

(খ)
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় ব্যবহৃত সকল উপপাদ্য বা সমীকরণ যে দুটি নিয়ম মেনে চলে, তাকে দ্বৈত নীতি বা Duality Principle বলে। নিয়ম দুটি হলো:
১. সমীকরণের সকল OR (+) অপারেটর AND (.) অপারেটরে পরিবর্তিত হবে এবং AND (.) অপারেটর OR (+) অপারেটরে পরিবর্তিত হবে।
২. সমীকরণের সকল ০ (শূন্য) ১ (এক)-এ এবং ১ (এক) ০ (শূন্য)-তে পরিবর্তিত হবে।
যেমন: $A+0=A$ এর দ্বৈত রূপ হলো $A \cdot 1 = A$।

(গ)
উদ্দীপকে শিক্ষকের "১+১=১" উক্তিটি বুলিয়ান অ্যালজেবরার 'লজিক্যাল OR' বা যৌক্তিক যোগের ধারণা নির্দেশ করে।
সাধারণ গণিতে ১ ও ১ যোগ করলে ২ হয়, কিন্তু বুলিয়ান অ্যালজেবরায় সংখ্যাগুলোর মান নির্দেশ করে না, বরং লজিক্যাল অবস্থা (সত্য বা মিথ্যা) নির্দেশ করে। এখানে '১' মানে হলো 'সত্য' (True) বা 'হাই ভোল্টেজ' (High)।
বুলিয়ান যোগের ক্ষেত্রে, যেকোনো একটি ইনপুট সত্য (1) হলেই আউটপুট সত্য (1) হয়। তাই ১ (সত্য) এবং ১ (সত্য) এর যৌক্তিক যোগফল সর্বদা ১ (সত্য)-ই হয়। অর্থাৎ, $1 + 1 = 1$। এটি বুলিয়ান শতসিদ্ধের (Postulates) একটি নিয়ম।

(ঘ)
উদ্দীপকে উল্লিখিত ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য দুটি ২ চলকের (A ও B) জন্য নিচে দেওয়া হলো:
১ম উপপাদ্য: $\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$
২য় উপপাদ্য: $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$

নিচে সত্যক সারণির সাহায্যে উপপাদ্য দুটি প্রমাণ করা হলো:

A	B	$\overline{A}$	$\overline{B}$	A+B	$\overline{A+B}$	$\overline{A} \cdot \overline{B}$	$A \cdot B$	$\overline{A \cdot B}$	$\overline{A} + \overline{B}$
0	0	1	1	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	1	0	0	1	0	0

প্রমাণ বিশ্লেষণ:
- সারণির ৬ষ্ঠ কলাম ($\overline{A+B}$) এবং ৭ম কলাম ($\overline{A} \cdot \overline{B}$) এর মানগুলো প্রতিটি সারিতে হুবহু এক। সুতরাং, $\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ প্রমাণিত।
- সারণির ৯ম কলাম ($\overline{A \cdot B}$) এবং ১০ম কলাম ($\overline{A} + \overline{B}$) এর মানগুলো প্রতিটি সারিতে হুবহু এক। সুতরাং, $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ প্রমাণিত।

---

সৃজনশীল প্রশ্ন ২

দৃশ্যকল্প-১: একটি লজিক ফাংশন $F = A + \overline{B}C$
দৃশ্যকল্প-২: ডিজিটাল বর্তনী সরলীকরণের জন্য বুলিয়ান উপপাদ্যসমূহ অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এর মধ্যে বিভাজন উপপাদ্য (Distributive Law) অন্যতম।

ক) সত্যক সারণি কী?
খ) $A + A = A$ কেন হয়? ব্যাখ্যা কর।
গ) দৃশ্যকল্প-১ এর ফাংশনটির সত্যক সারণি তৈরি কর।
ঘ) দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, $A + BC = (A+B)(A+C)$।

উত্তর

(ক)
যে সারণির মাধ্যমে লজিক সার্কিট বা বুলিয়ান ফাংশনের বিভিন্ন ইনপুট কম্বিনেশনের জন্য সম্ভাব্য আউটপুট মান দেখানো হয়, তাকে সত্যক সারণি বা Truth Table বলে।

(খ)
$A + A = A$ হলো বুলিয়ান অ্যালজেবরার একটি মৌলিক উপপাদ্য (Idempotent Law)।
বুলিয়ান যোগের ক্ষেত্রে, ইনপুটগুলোর মান একই হলে আউটপুট সেই মানই হয়।
যদি $A=0$ হয়, তবে $0+0=0$ (অর্থাৎ A)।
যদি $A=1$ হয়, তবে $1+1=1$ (অর্থাৎ A)।
যেহেতু A এর মান ০ বা ১ যাই হোক না কেন, $A+A$ এর মান সর্বদা A-ই থাকছে, তাই $A+A=A$ হয়।

(গ)
দৃশ্যকল্প-১ এর ফাংশনটি হলো $F = A + \overline{B}C$। এখানে চলক তিনটি: A, B, C। সুতরাং ইনপুট কম্বিনেশন হবে $2^3 = 8$ টি।
নিচে সত্যক সারণিটি তৈরি করা হলো:

A	B	C	$\overline{B}$	$\overline{B}C$	$F = A + \overline{B}C$
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1

(ঘ)
আমাদের প্রমাণ করতে হবে: $A + BC = (A+B)(A+C)$।
এটি বুলিয়ান অ্যালজেবরার বিভাজন উপপাদ্য (Distributive Law)। আমরা ডানপক্ষ (Right Hand Side) সরল করে বামপক্ষের (Left Hand Side) সমান দেখাব।

ডানপক্ষ = $(A+B)(A+C)$
$= A \cdot A + A \cdot C + B \cdot A + B \cdot C$ [গুণ করে]
$= A + AC + AB + BC$ [যেহেতু $A \cdot A = A$ এবং $B \cdot A = AB$]
$= A(1 + C) + AB + BC$ [প্রথম দুটি পদ থেকে A কমন নিয়ে]
$= A \cdot 1 + AB + BC$ [যেহেতু $1 + C = 1$]
$= A + AB + BC$
$= A(1 + B) + BC$ [প্রথম দুটি পদ থেকে আবার A কমন নিয়ে]
$= A \cdot 1 + BC$ [যেহেতু $1 + B = 1$]
$= A + BC$
= বামপক্ষ

সুতরাং, $A + BC = (A+B)(A+C)$ প্রমাণিত হলো।

এমসিকিউ

১. বুলিয়ান অ্যালজেবরা কে আবিষ্কার করেন?

ক) চার্লস ব্যাবেজ
খ) জর্জ বুল
গ) জন নেপিয়ার
ঘ) অ্যাডা লাভলেস

সঠিক উত্তর: খ) জর্জ বুল
ব্যাখ্যা: ১৮৫৪ সালে গণিতবিদ জর্জ বুল ‘The Laws of Thought’ গ্রন্থে বুলিয়ান অ্যালজেবরা বা যুক্তিবীজগণিত ধারণাটি প্রথম প্রকাশ করেন।

---

২. বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কতটি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়?

ক) ১টি
খ) ২টি
গ) ৮টি
ঘ) ১০টি

সঠিক উত্তর: খ) ২টি
ব্যাখ্যা: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধুমাত্র ০ এবং ১ এই দুটি অঙ্ক বা প্রতীক ব্যবহৃত হয়, যা লজিক লেভেল (Low এবং High) নির্দেশ করে।

---

৩. বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে ১ + ১ + ১ = কত?

ক) ১
খ) ৩
গ) ১০
ঘ) ১১

সঠিক উত্তর: ক) ১
ব্যাখ্যা: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যোগের ক্ষেত্রে (OR অপারেশন) যেকোনো একটি ইনপুট ১ হলেই আউটপুট ১ হয়। তাই ১+১+১=১।

---

৪. $A + \bar{A}$ এর মান কোনটি?

ক) ০
খ) ১
গ) A
ঘ) $\bar{A}$

সঠিক উত্তর: খ) ১
ব্যাখ্যা: এটি বুলিয়ান পরিপূরক উপপাদ্য (Complementarity Law)। কোনো চলক এবং তার বিপরীত মান যোগ করলে সর্বদা সত্য বা ১ পাওয়া যায়।

---

৫. $A \cdot \bar{A}$ এর মান কোনটি?

ক) ০
খ) ১
গ) A
ঘ) $\bar{A}$

সঠিক উত্তর: ক) ০
ব্যাখ্যা: কোনো চলক এবং তার বিপরীত মানের গুণফল (AND অপারেশন) সর্বদা মিথ্যা বা ০ হয়। কারণ দুটির মধ্যে একটি অবশ্যই ০ হবে।

---

৬. কোনটি ডি-মরগ্যান এর উপপাদ্য?

ক) $\overline{A+B} = \bar{A} + \bar{B}$
খ) $\overline{A \cdot B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$
গ) $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$
ঘ) $A+B = \bar{A} \cdot \bar{B}$

সঠিক উত্তর: গ) $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$
ব্যাখ্যা: ডি-মরগ্যানের প্রথম উপপাদ্য অনুসারে, যোগফলের পরিপূরক (NOR) হলো পরিপূরকগুলোর গুণফলের (AND) সমান।

---

৭. দ্বৈত নীতি (Duality Principle) অনুসারে AND অপারেশনের পরিবর্তে কোনটি বসে?

ক) NOT
খ) OR
গ) NAND
ঘ) NOR

সঠিক উত্তর: খ) OR
ব্যাখ্যা: দ্বৈত নীতি অনুসারে AND (.) অপারেটর OR (+) অপারেটরে এবং OR (+) অপারেটর AND (.) অপারেটরে পরিবর্তিত হয়।

---

৮. ৩টি চলকের জন্য সত্যক সারণিতে কতটি ইনপুট কম্বিনেশন বা সারি হবে?

ক) ৩টি
খ) ৬টি
গ) ৮টি
ঘ) ৯টি

সঠিক উত্তর: গ) ৮টি
ব্যাখ্যা: সত্যক সারণির ইনপুট কম্বিনেশন সংখ্যা $2^n$ সূত্র মেনে চলে। এখানে $n=3$, তাই $2^3 = 8$ টি।

---

৯. $A + AB$ সমীকরণটির সরলীকৃত মান কোনটি?

ক) A
খ) B
গ) AB
ঘ) A+B

সঠিক উত্তর: ক) A
ব্যাখ্যা: এটি শোষক বা বিভাজন উপপাদ্য (Absorption Law) নামে পরিচিত। প্রমাণ: $A(1+B) = A \cdot 1 = A$।

---

১০. বুলিয়ান অ্যালজেবরায় $1 + A$ এর মান কোনটি?

ক) ০
খ) ১
গ) A
ঘ) $\bar{A}$

সঠিক উত্তর: খ) ১
ব্যাখ্যা: বুলিয়ান যোগের ক্ষেত্রে ১ এর সাথে যাই যোগ করা হোক না কেন, ফলাফল সর্বদা ১ হয়।

---

১১. $A \oplus B$ এর মান কোনটি?

ক) $AB + \bar{A}\bar{B}$
খ) $\bar{A}B + A\bar{B}$
গ) $(A+B)(\bar{A}+\bar{B})$
ঘ) $AB$

সঠিক উত্তর: খ) $\bar{A}B + A\bar{B}$
ব্যাখ্যা: এটি এক্সক্লুসিভ-অর (XOR) গেটের সমীকরণ। $A \oplus B = \bar{A}B + A\bar{B}$।

---

১২. বিভাজন উপপাদ্য (Distributive Law) কোনটি?

ক) $A(B+C) = AB + AC$
খ) $A+(B+C) = (A+B)+C$
গ) $A+B = B+A$
ঘ) $A \cdot A = A$

সঠিক উত্তর: ক) $A(B+C) = AB + AC$
ব্যাখ্যা: এটি সাধারণ অ্যালজেবরার মতোই গুণনের বণ্টন বিধি মেনে চলে।

---

১৩. $F = \overline{A+B+C}$ ফাংশনটি কোন লজিক গেট নির্দেশ করে?

ক) NAND
খ) NOR
গ) XOR
ঘ) XNOR

সঠিক উত্তর: খ) NOR
ব্যাখ্যা: OR অপারেশনের ওপর বার (NOT) থাকলে সেটি NOR গেট নির্দেশ করে।

---

১৪. বুলিয়ান অ্যালজেবরায় ভোল্টেজ লেভেল ০ থেকে ০.৮ ভোল্টকে কী ধরা হয়?

ক) লজিক ০
খ) লজিক ১
গ) অসংজ্ঞায়িত
ঘ) হাই ইম্পিডেন্স

সঠিক উত্তর: ক) লজিক ০
ব্যাখ্যা: ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে ০ থেকে ০.৮ ভোল্ট রেঞ্জকে লজিক ০ বা লো ভোল্টেজ এবং ২ থেকে ৫ ভোল্টকে লজিক ১ বা হাই ভোল্টেজ ধরা হয়।

---

১৫. ডি-মরগ্যানের ২য় উপপাদ্যটি ৩ চলকের ক্ষেত্রে কী হবে?

ক) $\overline{ABC} = \bar{A}\bar{B}\bar{C}$
খ) $\overline{ABC} = \bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$
গ) $\overline{A+B+C} = \bar{A}\bar{B}\bar{C}$
ঘ) $\overline{ABC} = \bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{C}$

সঠিক উত্তর: খ) $\overline{ABC} = \bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$
ব্যাখ্যা: গুণফলের পরিপূরক (NAND) হলো আলাদা আলাদা পরিপূরকের যোগফলের সমান।

---

১৬. বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে—
i. $0 + 0 = 0$
ii. $1 + 0 = 1$
iii. $1 + 1 = 2$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ক) i ও ii
ব্যাখ্যা: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় $1+1=1$ হয়, ২ নয়। তাই iii ভুল।

---

১৭. ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য প্রযোজ্য—
i. দুটি চলকের ক্ষেত্রে
ii. তিনটি চলকের ক্ষেত্রে
iii. যেকোনো সংখ্যক চলকের ক্ষেত্রে

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা: ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য ২ বা ততোধিক যেকোনো সংখ্যক চলকের জন্য সত্য।

---

১৮. $Y = A(A+B)$ সরল করলে পাওয়া যায়—
i. $A$
ii. $A + AB$
iii. $B$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ক) i ও ii
ব্যাখ্যা: $A(A+B) = AA + AB = A + AB = A$। তাই i এবং ii সঠিক। iii ভুল।

---

১৯. বুলিয়ান অ্যালজেবরার বৈশিষ্ট্য হলো—
i. এতে ভগ্নাংশ বা ঋণাত্মক সংখ্যা নেই
ii. জ্যামিতিক ও ত্রিকোণমিতিক সূত্র নেই
iii. শুধু দুটি অঙ্ক (০ ও ১) ব্যবহৃত হয়

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা: বুলিয়ান অ্যালজেবরা সাধারণ গণিতের চেয়ে অনেক সহজ কারণ এতে উপরের সব বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান।

---

২০. সত্যক সারণি ব্যবহার করা হয়—
i. লজিক সার্কিটের আউটপুট যাচাই করতে
ii. সমীকরণের সত্যতা প্রমাণ করতে
iii. সরলীকরণে সহায়তা করতে

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা: সত্যক সারণি হলো লজিক ফাংশন বিশ্লেষণের একটি মৌলিক টুল যা এই সব কাজে ব্যবহৃত হয়।

---

নিচের উদ্দীপকটি পড় এবং ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
শিক্ষক ক্লাসে $F = \overline{A}B + A\overline{B}$ সমীকরণটি বোর্ডে লিখলেন এবং এর লজিক সার্কিট আঁকতে বললেন।

২১. উদ্দীপকের সমীকরণটি কোন লজিক গেট নির্দেশ করে?

ক) OR
খ) AND
গ) XOR
ঘ) XNOR

সঠিক উত্তর: গ) XOR
ব্যাখ্যা: $\overline{A}B + A\overline{B}$ হলো এক্সক্লুসিভ-অর (XOR) গেটের মৌলিক সমীকরণ।

---

২২. সমীকরণটির সরলীকৃত রূপ বা প্রতীক কোনটি?

ক) $A \oplus B$
খ) $A \odot B$
গ) $\overline{A+B}$
ঘ) $\overline{AB}$

সঠিক উত্তর: ক) $A \oplus B$
ব্যাখ্যা: XOR অপারেশনকে $\oplus$ চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

---

নিচের উদ্দীপকটি পড় এবং ২৩, ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
ল্যাব ক্লাসে রাজীব দেখল একটি লজিক গেটের আউটপুট ১ হয় যখন এর ইনপুটগুলো ভিন্ন মানের হয়। কিন্তু ইনপুটগুলো একই মানের হলে আউটপুট ০ হয়।

২৩. উদ্দীপকের গেটটি কোন ধরনের গেট?

ক) মৌলিক গেট
খ) যৌগিক গেট
গ) বিশেষ গেট
ঘ) বাফার গেট

সঠিক উত্তর: গ) বিশেষ গেট
ব্যাখ্যা: ইনপুট ভিন্ন হলে আউটপুট ১ (XOR) এবং একই হলে ০—এটি XOR গেটের বৈশিষ্ট্য, যা একটি বিশেষ (Exclusive) গেট।

---

২৪. উদ্দীপকের গেটটির আউটপুট ফাংশন কোনটি?

ক) $AB$
খ) $A+B$
গ) $A \oplus B$
ঘ) $A \odot B$

সঠিক উত্তর: গ) $A \oplus B$
ব্যাখ্যা: XOR গেটের আচরণ হলো বিজোড় সংখ্যক ১ ইনপুট থাকলে আউটপুট ১ হবে, যা ২ চলকের ক্ষেত্রে ভিন্ন ইনপুট বোঝায়।

---

২৫. যদি গেটটির সাথে একটি NOT গেট যুক্ত করা হয়, তবে আউটপুট কী হবে?

ক) ভিন্ন ইনপুটে ১
খ) একই ইনপুটে ১
গ) সর্বদা ০
ঘ) সর্বদা ১

সঠিক উত্তর: খ) একই ইনপুটে ১
ব্যাখ্যা: XOR এর সাথে NOT যুক্ত করলে XNOR (Exclusive-NOR) হয়। XNOR গেটে ইনপুটগুলো একই মানের (উভয় ০ বা উভয় ১) হলে আউটপুট ১ হয়।