সংখ্যা পদ্ধতির ইতিহাস ও ধারণা

সংখ্যা পদ্ধতির ইতিহাস ও ধারণা

আসসালামু আলাইকুম এবং স্বাগতম সবাইকে! এইচএসসি আইসিটি কোর্সের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়—সংখ্যা পদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইসে তোমাদের স্বাগতম। আজ আমাদের এই অধ্যায়ের প্রথম ক্লাস। চলো শুরুতেই দেখে নিই, আজকের এই লেকচার শেষে আমরা ঠিক কী কী নতুন বিষয় শিখতে যাচ্ছি। আজকের পাঠ শেষে আমরা সংখ্যা আবিষ্কারের ইতিহাস জানতে পারব, সংখ্যা পদ্ধতি কী এবং কত প্রকার তা ব্যাখ্যা করতে পারব। পজিশনাল ও নন-পজিশনাল পদ্ধতির পার্থক্য বুঝতে পারব এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ—বাইনারি, অক্টাল, ডেসিমেল ও হেক্সাডেসিমেল পদ্ধতির সাথে পরিচিত হতে পারব।

সংখ্যা ছাড়া পৃথিবী কেমন হতো?

একটু ভাবো তো, যদি সংখ্যা বা নম্বর না থাকত, তবে আমাদের পৃথিবীটা কেমন হতো? আমরা কীভাবে জানতাম এখন কয়টা বাজে? দোকানদার কীভাবে হিসাব করত? আর কম্পিউটার বা মোবাইল তো দূরের কথা, আমরা জানতামই না আজ কত তারিখ। আজকের এই আধুনিক ডিজিটাল বিশ্ব দাঁড়িয়ে আছে একটি মাত্র জাদুর ওপর, আর তা হলো—সংখ্যা। কিন্তু মানুষ কি প্রথম দিন থেকেই ১, ২, ৩ বা ১০০ চিনতো? একদম না! আদিম মানুষ গুহায় বাস করতো, তখন তাদের হিসাব রাখার পদ্ধতি ছিল সম্পূর্ণ ভিন্ন। চলো সেই গল্পটা একটু শুনি।

সংখ্যার ইতিহাস ও ক্রমবিকাশ

আদিম যুগে মানুষ যখন পশুপালন শুরু করল, তারা হিসাব রাখার জন্য নুড়ি পাথর বা হাড়ের গায়ে দাগ কেটে রাখত। এরপর এল মিশরীয়রা, তারা ছবির মাধ্যমে সংখ্যা লিখত যাকে বলে হায়ারোগ্লিফিক্স। আমরা ঘড়িতে বা ক্লাসের নামের শেষে যে রোমান সংখ্যা (I, II, III) ব্যবহার করি, সেটাও অনেক পুরনো। কিন্তু গণিতের ইতিহাসে সবচেয়ে বড় বিপ্লব ঘটে যখন ভারতীয় এবং মায়া সভ্যতার গণিতবিদেরা 'শূন্য' বা 'Zero' আবিষ্কার করেন। শূন্য আসার পরেই বড় বড় সংখ্যা লেখা সহজ হয়ে গেল এবং গণিতের চাকা ঘুরতে শুরু করল।

সংখ্যা পদ্ধতি কী? (What is Number System?)

এখন প্রশ্ন হলো, সংখ্যা পদ্ধতি আসলে কী? সহজ কথায়, কোনো কিছু গণনা করার জন্য বা সংখ্যা লিখে প্রকাশ করার যে নিয়ম বা পদ্ধতি, তাকেই সংখ্যা পদ্ধতি বলে। এখানে একটা বিষয় খুব ভালো করে বুঝতে হবে—অঙ্ক এবং সংখ্যা কিন্তু এক নয়। যেমন ধরো, ইংরেজি ভাষায় A, B, C হলো অক্ষর বা Letter, আর এগুলো মিলে হয় শব্দ বা Word। ঠিক তেমনি গণিতে ০ থেকে ৯ হলো 'অঙ্ক' বা Digit। আর এই অঙ্কগুলো পাশাপাশি বসিয়ে যা তৈরি হয়, তা হলো 'সংখ্যা' বা Number। যেমন ১২৩—এটি একটি সংখ্যা, কিন্তু ১, ২, ৩ হলো এর ভেতরের অঙ্ক।

সংখ্যা পদ্ধতির প্রকারভেদ

পুরো সংখ্যা জগতকে আমরা প্রধানত দুই ভাগে ভাগ করতে পারি। এক: নন-পজিশনাল, আর দুই: পজিশনাল। নাম শুনেই হয়তো আন্দাজ করতে পারছ। নন-পজিশনাল মানে যার পজিশন বা অবস্থানের কোনো দাম নেই। আর পজিশনাল মানে হলো, যেখানে অঙ্কের অবস্থান বা পজিশন তার মান নির্ধারণ করে দেয়। আধুনিক যুগে আমরা পজিশনাল পদ্ধতিই ব্যবহার করি। চলো একটু গভীরে গিয়ে দেখি দুটির পার্থক্য।

১. নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি

নন-পজিশনাল পদ্ধতি অনেক আদিম। যেমন রোমান সংখ্যা। রোমান হরফ 'X' মানে হলো ১০। তুমি যদি দুটো X পাশাপাশি লেখো (XX), তার মানে ২০। এখানে প্রথম X এর মানও ১০, দ্বিতীয় X এর মানও ১০। তাদের জায়গা বদলালেও মানের কোনো পরিবর্তন হতো না। প্রাচীনকালে নুড়ি পাথর দিয়ে যখন গণনা করা হতো, তখন ৫টা পাথর পকেটে থাকলে, কোন পাথরটা আগে আর কোনটা পরে—তাতে কিচ্ছু যেত আসতো না। মোট মান ৫-ই থাকত। এটাই নন-পজিশনাল। বড় কোনো হিসাব, যেমন ৫০০০ এর সাথে ৫০০ গুণ করা—এই পদ্ধতিতে প্রায় অসম্ভব!

২. পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি

এবার আসি পজিশনাল পদ্ধতিতে, যেটা আমরা ছোটবেলা থেকে শিখে আসছি। এখানে একটা সংখ্যা কত বড় বা ছোট হবে, তা নির্ভর করে তিনটি জিনিসের ওপর। এক, অঙ্কটির নিজস্ব মান বা চেহারা (Face Value)। দুই, অঙ্কটি কোথায় বসেছে তার স্থানীয় মান (Place Value)। এবং তিন, সংখ্যা পদ্ধতিটির ভিত্তি বা বেস (Base)। এই তিনটি বিষয় ছাড়া পজিশনাল সংখ্যা গঠন করা যায় না। তোমরা স্লাইডের ডায়াগ্রামটি খেয়াল করো, তিনটি উপাদানই একটি সংখ্যার মান নির্ধারণে ভূমিকা রাখে।

উদাহরণ: ৫৫৫ (পজিশনাল ম্যাজিক)

এই স্লাইডটা খুব ভালো করে খেয়াল করো। আমরা একটি সংখ্যা নিয়েছি—৫৫৫। দেখতে তিনটাই ৫, তাই না? কিন্তু এদের ক্ষমতা বা মান কি এক? একদম না! একদম ডানের ৫ টি মাত্র ৫ টাকা বোঝায়। মাঝখানের ৫ টি কিন্তু ৫০ টাকা বোঝায়। আর একদম বামের ৫ টি ৫০০ টাকা বোঝায়! কেন? কারণ তাদের পজিশন বা অবস্থান ভিন্ন। এটাই হলো পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতির ম্যাজিক। জায়গা বদলালে মান বদলে যায়।

সংখ্যার বিভিন্ন অংশ: MSD, LSD ও র‍্যাডিক্স পয়েন্ট

আমরা যখন কোনো সংখ্যা লিখি, মাঝেমধ্যে দশমিক বা পয়েন্ট ব্যবহার করি, তাই না? এই পয়েন্টকে আইসিটির ভাষায় বলে র‍্যাডিক্স পয়েন্ট (Radix Point)। এটি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশকে আলাদা করে। এবার দেখো, একটা সংখ্যার সবচেয়ে ক্ষমতাধর অঙ্ক কোনটি? যেটা একদম বামে থাকে। একে বলে MSD বা Most Significant Digit। আর যার ক্ষমতা সবচেয়ে কম, যেটা একদম ডানে থাকে, তাকে বলে LSD বা Least Significant Digit। এমসিকিউ বা ভাইভায় কিন্তু প্রায়ই MSD আর LSD এর পূর্ণরূপ জিজ্ঞেস করা হয়, তাই এটা মনে রেখো।

ভিত্তি বা বেস (Base) কী?

আমরা এখন জানব 'বেস' বা 'ভিত্তি' কী। খুব সহজ! কোনো সিস্টেমে মোট কয়টা আলাদা আলাদা ডিজিট বা চিহ্ন ব্যবহার করা যায়, সেই সংখ্যাটাই হলো তার বেস। যেমন ধরো, আমাদের প্রচলিত দশমিক পদ্ধতিতে আমরা ০,১,২...৯ পর্যন্ত মোট ১০টা ভিন্ন ভিন্ন চেহারা বা ডিজিট ব্যবহার করি। ১০ এর পর কিন্তু নতুন কোনো চিহ্ন নেই, আবার ১ আর ০ দিয়ে ১০ বানাতে হয়। যেহেতু মোট ১০টা চিহ্ন, তাই এর বেস হলো ১০। একইভাবে কম্পিউটারের বাইনারিতে চিহ্ন মাত্র দুটি, তাই বেস ২।

কম্পিউটারে ব্যবহৃত ৪টি সংখ্যা পদ্ধতি

এখন আমরা আইসিটির মূল জায়গায় প্রবেশ করছি। কম্পিউটারের জগতে এবং আমাদের বইতে প্রধানত ৪ ধরনের পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করা হয়। ১. ডেসিমেল—যা আমরা মানুষরা ব্যবহার করি। ২. বাইনারি—যা কম্পিউটার বোঝে। ৩. অক্টাল এবং ৪. হেক্সাডেসিমেল। শেষের দুটো মূলত বড় বড় বাইনারি সংখ্যাকে ছোট করে লেখার জন্য প্রোগ্রামাররা ব্যবহার করেন। চলো একে একে এদের সাথে পরিচিত হই।

১. ডেসিমেল বা দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি

প্রথমে ডেসিমেল বা দশমিক। ডেসি (Deci) মানেই দশ। ছোটবেলা থেকে আমরা যা শিখেছি, সেটাই এটা। এর ভিত্তি ১০। অঙ্কগুলো হলো ০ থেকে ৯। যেকোনো সংখ্যা লেখার পর ব্র্যাকেটের নিচে ছোট করে ১০ লেখা হয়, যাতে বোঝা যায় এটা ডেসিমেল সংখ্যা। যেমন (৯৮০)১০। এটা আমাদের জন্য সহজ, কিন্তু কম্পিউটারের জন্য নয়।

২. বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি

এবার আসি বাইনারিতে। বাই (Bi) মানে দুই। এর ভিত্তি ২, কারণ এখানে রাজা মাত্র দুইজন—০ এবং ১। কম্পিউটার বিদ্যুতের সিগন্যাল ছাড়া কিছু বোঝে না। বিদ্যুত নাই মানে ০, আর বিদ্যুত আছে মানে ১। এই ০ আর ১ কে বলা হয় বিট (Bit)। আমরা যখন বলি ৫ মেগাবাইট বা ১০ গিগাবাইট, সবকিছুর মূলে আছে এই ছোট বিট। উদাহরণস্বরূপ, (১০১০১)২ একটি বাইনারি সংখ্যা।

৩. অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি

অক্টাল মানে আট। এর ভিত্তি ৮। অঙ্কগুলো হলো ০ থেকে ৭ পর্যন্ত। খুব সাবধান! অক্টাল পদ্ধতিতে তুমি কখনোই ৮ বা ৯ লিখতে পারবে না। যদি কেউ লেখে (১২৮)৮, তাহলে সেটা ভুল! কারণ অক্টালে ৮ বলতে কোনো ডিজিট নেই, ৭ এর পরেই সংখ্যা শেষ। মূলত বাইনারি সংখ্যা অনেক লম্বা হয়, সেটাকে ছোট করে প্রকাশ করতে অক্টাল ব্যবহার করা হতো।

৪. হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি

সবচেয়ে ইন্টারেস্টিং হলো হেক্সাডেসিমেল। হেক্সা মানে ৬ আর ডেসিমেল মানে ১০, মোট ১৬। এর ভিত্তি ১৬। কিন্তু সমস্যা হলো, আমাদের হাতে তো অঙ্ক আছে মাত্র ০-৯ পর্যন্ত (১০টি)। বাকি ৬টি অঙ্ক কোথায় পাবো? তাই ধার করা হলো ইংরেজি বর্ণমালা থেকে। ৯ এর পর ১০ না লিখে লেখা হয় A, ১১ এর বদলে B, এভাবে F পর্যন্ত যার মান ১৫। অর্থাৎ এখানে সংখ্যায় অক্ষর ঢুকে গেছে! যেমন (2F3)16। কালার কোড বা মেমোরি অ্যাড্রেসিংয়ে এটা প্রচুর ব্যবহৃত হয়।

একনজরে ৪টি সংখ্যা পদ্ধতি

আজকের ক্লাসের সারসংক্ষেপ এই চার্টটি। তোমরা চাইলে ভিডিওটি পজ করে বা স্ক্রিনশট নিয়ে এটা খাতায় তুলে নিতে পারো। এই চারটি পদ্ধতির বেস এবং মৌলিক অঙ্কগুলো মনে রাখা খুব জরুরি। তোমাদের জন্য ছোট্ট একটা বাড়ির কাজ—তোমার জন্ম তারিখ, ধরো ১২ তারিখ। এই ১২ সংখ্যাটি কি বাইনারিতে লেখা সম্ভব? বা অক্টালে? একটু চিন্তা করো। আগামী ক্লাসে আমরা শিখব কীভাবে এক পদ্ধতির সংখ্যাকে জাদুর মতো অন্য পদ্ধতিতে রূপান্তর করা যায়। সে পর্যন্ত সবাই ভালো থেকো, আল্লাহ হাফেজ!

সৃজনশীল প্রশ্ন

সৃজনশীল প্রশ্ন ১

সুমি আইসিটি ক্লাসে প্রাচীন গণনার পদ্ধতি সম্পর্কে জানতে পারে। শিক্ষক তাকে রোমান সংখ্যা এবং বর্তমানে ব্যবহৃত দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির পার্থক্য জিজ্ঞেস করেন। পরে তিনি সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তির ওপর গুরুত্ব দিয়ে বলেন, "একটি সংখ্যা পদ্ধতির মান নির্ণয়ে এর ভিত্তি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।"

ক) সংখ্যা পদ্ধতি কী?
খ) পজিশনাল ও নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতির মূল পার্থক্য ব্যাখ্যা কর।
গ) উদ্দীপকে শিক্ষকের নির্দেশিত প্রাচীন পদ্ধতিটি (রোমান) কোন ধরণের সংখ্যা পদ্ধতি? ব্যাখ্যা কর।
ঘ) "যেকোনো সংখ্যা পদ্ধতির মান নির্ণয়ে বেস বা ভিত্তি অপরিহার্য" - শিক্ষকের এই উক্তিটি বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

(ক) কোনো সংখ্যা লেখা বা প্রকাশ করার পদ্ধতিকেই সংখ্যা পদ্ধতি বা Number System বলে।

(খ) পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রতিটি অংকের নিজস্ব মানের পাশাপাশি স্থানীয় মান (Place Value) থাকে এবং এটি ভিত্তির ওপর নির্ভর করে (যেমন: দশমিক, বাইনারি)। অন্যদিকে, নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে অংকের শুধু নিজস্ব মান থাকে কিন্তু কোনো স্থানীয় মান থাকে না এবং অংকের অবস্থান পরিবর্তনের সাথে সংখ্যার মানের পরিবর্তন হয় না (যেমন: রোমান, হায়ারোগ্লিফিক্স)।

(গ) উদ্দীপকে শিক্ষকের নির্দেশিত প্রাচীন পদ্ধতিটি হলো নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি (রোমান সংখ্যা পদ্ধতি)।
যে সংখ্যা পদ্ধতিতে সংখ্যার মান ব্যবহৃত অংক বা চিহ্নগুলোর পজিশন বা অবস্থানের ওপর নির্ভর করে না, তাকে নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি বলে। রোমান সংখ্যা পদ্ধতিতে I, V, X, L, C, D, M ইত্যাদি চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, রোমান সংখ্যায় 'X' এর মান ১০। এটি সংখ্যার শুরুতে বসুক বা শেষে, এর নিজস্ব মান সর্বদা ১০ থাকে (যদিও যোগ-বিয়োগের নিয়ম আছে, কিন্তু আধুনিক স্থানীয় মানের মতো একক-দশক অবস্থান নেই)। এই পদ্ধতিতে কোনো বেস বা ভিত্তি এবং স্থানীয় মান থাকে না, তাই বড় সংখ্যা গণনা বা গাণিতিক কাজ করা জটিল। উদ্দীপকে সুমি যে রোমান সংখ্যার কথা জেনেছে, তা এই প্রাচীন নন-পজিশনাল পদ্ধতিরই অন্তর্ভুক্ত।

(ঘ) উদ্দীপকে শিক্ষকের উক্তিটি হলো—"যেকোনো সংখ্যা পদ্ধতির মান নির্ণয়ে বেস বা ভিত্তি অপরিহার্য।" উক্তিটি পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে শতভাগ সত্য ও যৌক্তিক।

একটি সংখ্যার মান বের করতে হলে আমাদের তিনটি জিনিসের প্রয়োজন হয়: ১. অংকটির নিজস্ব মান, ২. অংকটির স্থানীয় মান এবং ৩. সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি বা বেস। বেস হলো ওই পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মোট মৌলিক চিহ্নের সংখ্যা। যেমন, দশমিক পদ্ধতিতে বেস ১০, বাইনারিতে ২, অক্টালে ৮ এবং হেক্সাডেসিমেল-এ ১৬।

উদাহরণস্বরূপ, (১১০) সংখ্যাটির মান কত তা আমরা ততক্ষণ বলতে পারব না, যতক্ষণ না এর বেস জানি।
- যদি বেস ১০ হয়, তবে এটি একশত দশ।
- যদি বেস ২ হয়, তবে এর মান (১×২² + ১×২¹ + ০×২⁰) = ৪ + ২ + ০ = ৬ (দশমিকে)।
- যদি বেস ৮ হয়, তবে এর মান (১×৮² + ১×৮¹ + ০×৮⁰) = ৬৪ + ৮ + ০ = ৭২ (দশমিকে)।

সুতরাং দেখা যাচ্ছে, একই অংক দিয়ে গঠিত সংখ্যা হলেও বেস পরিবর্তনের সাথে সাথে পুরো সংখ্যার মান পরিবর্তিত হয়ে যায়। পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রতিটি অবস্থানের মান (Local Value) নির্ধারিত হয় বেসের পাওয়ার (Power) হিসেবে। তাই সঠিক মান নির্ণয় ও গাণিতিক অপারেশনের জন্য সংখ্যা পদ্ধতির বেস জানা অপরিহার্য।

সৃজনশীল প্রশ্ন ২

রফিক বাজার থেকে ৫ কেজি চাল ও ২ হালি ডিম কিনল। এখানে ৫ এবং ২ সংখ্যাগুলো আমাদের দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত সংখ্যা পদ্ধতি। কিন্তু রফিকের বন্ধু তাকে বলল, "কম্পিউটারে এই সংখ্যাগুলো ভিন্নভাবে প্রসেস হয়, সেখানে ৫ কে ১০১ হিসেবে চিনে।"

ক) র‍্যাডিক্স পয়েন্ট কী?
খ) (১২৫)৮ কি সঠিক সংখ্যা? ব্যাখ্যা কর।
গ) রফিকের ব্যবহৃত সংখ্যা পদ্ধতিটির গঠন ও বৈশিষ্ট্য বর্ণনা কর।
ঘ) উদ্দীপকের আলোকে কম্পিউটারে ব্যবহৃত সংখ্যা পদ্ধতির সাথে মানুষের ব্যবহৃত সংখ্যা পদ্ধতির তুলনামূলক বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

(ক) পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশকে আলাদা করার জন্য যে বিন্দু (.) বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়, তাকে র‍্যাডিক্স পয়েন্ট (Radix Point) বলে।

(খ) না, (১২৫)৮ সঠিক সংখ্যা নয়।
কারণ, কোনো সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি যত হয়, ওই পদ্ধতিতে ব্যবহৃত অংকগুলো অবশ্যই তার চেয়ে ছোট হতে হয়। এখানে সংখ্যাটির বেস ৮ (অক্টাল), সুতরাং এতে ০ থেকে ৭ পর্যন্ত অংকগুলো ব্যবহৃত হতে পারে। কিন্তু সংখ্যাটিতে '৫' এবং '২' গ্রহণযোগ্য হলেও '১', '২' ও '৫' সব অংকই ০-৭ এর মধ্যে আছে—দুঃখিত, প্রশ্নটি ছিল (১২৫)৮। অক্টাল পদ্ধতিতে ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭—এই ৮টি অংক থাকে। উদ্দীপকের প্রশ্নে সংখ্যাটি ১২৫, যার প্রতিটি অংক (১, ২, ৫) ৭-এর নিচে বা সমান। অতএব, (১২৫)৮ একটি সঠিক সংখ্যা।
(বি.দ্র.: যদি প্রশ্নে (১২৮)৮ বা (১৯)৮ থাকত, তবে তা ভুল হতো কারণ ৮ বা ৯ অক্টালে নেই। প্রশ্নের সংখ্যা ১২৫ হওয়ায় এটি সঠিক।)

(গ) রফিক বাজার থেকে ৫ কেজি চাল ও ২ হালি ডিম কিনেছে। এখানে ৫ এবং ২ সংখ্যাগুলো দশমিক (Decimal) সংখ্যা পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত।
দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির গঠন ও বৈশিষ্ট্য:
১. ভিত্তি: এই পদ্ধতির ভিত্তি বা বেস হলো ১০।
২. অংকসমূহ: এতে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত মোট ১০টি মৌলিক অংক বা চিহ্ন (০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯) ব্যবহৃত হয়।
৩. স্থানীয় মান: এটি একটি পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি, তাই এতে অংকের অবস্থানের ওপর ভিত্তি করে স্থানীয় মান (একক, দশক, শতক ইত্যাদি) পরিবর্তিত হয়। যেমন: ৫-এর স্থানীয় মান ৫×১০⁰ = ৫।
৪. ব্যবহার: মানুষ দৈনন্দিন জীবনের হিসাব-নিকাশ ও গণনার জন্য এই পদ্ধতি সবচেয়ে বেশি ব্যবহার করে কারণ এটি মানুষের আঙুলের সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং গণনা করা সহজ।

(ঘ) উদ্দীপকে রফিকের ব্যবহৃত পদ্ধতিটি হলো দশমিক এবং কম্পিউটারে ব্যবহৃত পদ্ধতিটি হলো বাইনারি। নিচে এদের তুলনামূলক বিশ্লেষণ দেওয়া হলো:

1. ভিত্তি ও অংক: দশমিক পদ্ধতির ভিত্তি ১০ এবং এতে ১০টি অংক (০-৯) ব্যবহৃত হয়। অপরদিকে, বাইনারি পদ্ধতির ভিত্তি ২ এবং এতে মাত্র দুটি অংক (০ এবং ১) ব্যবহৃত হয়।
2. গঠন: দশমিকে আমরা ১, ২, ৩... এভাবে গণনা করি। কিন্তু কম্পিউটারের ইলেকট্রনিক সার্কিট ভোল্টেজের উপস্থিতি (১ - High/On) এবং অনুপস্থিতি (০ - Low/Off) দিয়ে কাজ করে। তাই কম্পিউটার দশমিক সংখ্যা সরাসরি বুঝতে পারে না। উদ্দীপকের '৫' কে কম্পিউটার বাইনারিতে '১০১' হিসেবে গ্রহণ করে।
3. মেমোরি ব্যবহার: দশমিক সংখ্যা স্টোর করতে বেশি বিট বা জটিল সার্কিট প্রয়োজন হতে পারে যদি সরাসরি এনকোড করা না হয়, তবে বাইনারি কম্পিউটারের মৌলিক ভাষা হওয়ায় এটি হার্ডওয়্যারের সাথে সরাসরি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং মেমোরি ব্যবহারে সাশ্রয়ী (অবশ্যই হিউম্যান রিডেবল নয়)।
4. রূপান্তর: মানুষ দশমিক পদ্ধতিতে স্বাচ্ছন্দ্যবোধ করে, কিন্তু কম্পিউটার বাইনারি ছাড়া কাজ করতে পারে না। তাই ইনপুট দেওয়ার সময় দশমিক সংখ্যাকে এনকোডার দিয়ে বাইনারিতে রূপান্তর করা হয় এবং আউটপুট দেখার সময় ডিকোডার দিয়ে পুনরায় দশমিকে রূপান্তর করা হয়।

সিদ্ধান্ত হিসেবে বলা যায়, মানুষের জন্য দশমিক পদ্ধতি সুবিধাজনক হলেও, যান্ত্রিক দক্ষতা ও ইলেকট্রনিক সিগন্যাল প্রসেসিংয়ের জন্য কম্পিউটারে বাইনারি পদ্ধতি অপরিহার্য।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৩

আদিব ও তার বন্ধুরা মিলে একটি প্রত্নতাত্ত্বিক যাদুঘরে গেল। সেখানে তারা প্রাচীন গুহাচিত্র দেখল যেখানে পশু শিকারের হিসাব রাখার জন্য পাথরের গায়ে দাগ কাটা এবং নুড়িপাথর জমানোর নিদর্শন রয়েছে। গাইড বললেন, "সভ্যতার শুরুতে গণনার জন্য কোনো লিখিত অংক ছিল না, পরবর্তীতে মায়া, রোমান ও সবশেষে ভারতীয় ও আরবরা আধুনিক সংখ্যা পদ্ধতি আবিষ্কার করে।"

ক) ডিজিট বা অংক কী?
খ) অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিকে ৩ বিটের কোড বলা হয় কেন?
গ) উদ্দীপকে বর্ণিত সভ্যতার শুরুর দিকের গণনা পদ্ধতির সাথে আধুনিক দশমিক পদ্ধতির পার্থক্য দেখাও।
ঘ) "আধুনিক সভ্যতায় সংখ্যা পদ্ধতির বিবর্তন ও ইতিহাস অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ"—উদ্দীপকের আলোকে উক্তিটি মূল্যায়ন কর।

উত্তর

(ক) সংখ্যা পদ্ধতিতে কোনো সংখ্যা গঠন বা প্রকাশ করার জন্য যেসব মৌলিক চিহ্ন বা প্রতীক ব্যবহৃত হয়, তাদের প্রত্যেকটিকে ডিজিট বা অংক বলে।

(খ) অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি হলো ৮। ৮ কে ২-এর ঘাত বা পাওয়ার হিসেবে প্রকাশ করলে পাওয়া যায় ২³ = ৮। অর্থাৎ, অক্টাল পদ্ধতির যেকোনো একটি অংককে (০-৭) বাইনারিতে প্রকাশ করতে সর্বোচ্চ ৩টি বিটের (Bit) প্রয়োজন হয়। যেমন: ৭ = ১১১, ০ = ০০০। একারণেই অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিকে ৩ বিটের কোড বলা হয় এবং এটি বাইনারি থেকে অক্টালে রূপান্তর সহজ করে।

(গ) উদ্দীপকে বর্ণিত সভ্যতার শুরুর দিকের গণনা পদ্ধতি ছিল নন-পজিশনাল (যেমন: দাগ কাটা, নুড়িপাথর, হায়ারোগ্লিফিক্স) এবং আধুনিক দশমিক পদ্ধতি হলো পজিশনাল। পার্থক্যসমূহ:
১. স্থানীয় মান: প্রাচীন দাগ কাটা বা নুড়িপাথর পদ্ধতিতে চিহ্নের কোনো স্থানীয় মান ছিল না; ৫টি দাগ মানে ৫, তা যেখানেই থাকুক। কিন্তু আধুনিক দশমিক পদ্ধতিতে অংকের অবস্থানের ওপর মান নির্ভর করে (যেমন: ১ এবং ০ দিয়ে ১০ হয়, আবার ১ হয়)।
২. শূন্যের ব্যবহার: প্রাচীন পদ্ধতিতে 'শূন্য' (0) বা ফাঁকা স্থানের কোনো নির্দিষ্ট ধারণা বা প্রতীক ছিল না। আধুনিক দশমিক পদ্ধতিতে শূন্যের ব্যবহার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
৩. জটিলতা: প্রাচীন পদ্ধতিতে বড় সংখ্যা প্রকাশ করা (যেমন: ১০০০টি দাগ দেওয়া) অত্যন্ত কষ্টসাধ্য ও জায়গাসাপেক্ষ ছিল। আধুনিক পদ্ধতিতে অল্প কয়েকটি অংক ব্যবহার করে অসীম পর্যন্ত সংখ্যা লেখা যায়।
৪. গাণিতিক অপারেশন: প্রাচীন পদ্ধতিতে যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগ করা খুব জটিল ছিল। আধুনিক দশমিক পদ্ধতিতে এটি অত্যন্ত সহজ ও বিজ্ঞানসম্মত।

(ঘ) উদ্দীপকের আলোকে বলা যায়, মানব সভ্যতার অগ্রগতির সাথে সংখ্যা পদ্ধতির বিবর্তন ওতপ্রোতভাবে জড়িত।

আদিম যুগে মানুষ যখন গুহায় বাস করত, তখন তাদের চাহিদা সীমিত ছিল, তাই দাগ কেটে বা আঙুল গুনে কাজ চলত। কিন্তু সমাজবদ্ধ হওয়ার পর কৃষি, বাণিজ্য ও সম্পদ বণ্টনের প্রয়োজনে বড় গণনার দরকার হয়। এই প্রয়োজন থেকেই মায়া, ব্যাবিলনীয় ও রোমান পদ্ধতির উদ্ভব হয়। কিন্তু এগুলোতেও সীমাবদ্ধতা ছিল—বিশেষ করে শূন্যের অভাব এবং জটিল লিখন পদ্ধতি।

পরবর্তীতে ভারতীয় ও আরব গণিতবিদদের হাত ধরে 'দশমিক' সংখ্যা পদ্ধতি এবং 'শূন্য'-এর আবিষ্কার গণিতের ইতিহাসে বিপ্লব ঘটায়। এটি না থাকলে আজ আমরা যে বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির ব্যবহার দেখছি (যেমন: কম্পিউটার, মহাকাশ গবেষণা), তা সম্ভব হতো না। আবার কম্পিউটারের জন্য বাইনারি পদ্ধতির আবিষ্কার ডিজিটাল বিপ্লবকে ত্বরান্বিত করেছে।

উদ্দীপকের যাদুঘরের নিদর্শনগুলো আমাদের মনে করিয়ে দেয় যে, আজকের এই আধুনিক ডিজিটাল বিশ্ব একদিনে তৈরি হয়নি। নুড়িপাথর থেকে শুরু করে বাইনারি কোড পর্যন্ত সংখ্যা পদ্ধতির এই বিবর্তনই মানুষকে আজকের আধুনিক ও প্রযুক্তিগতভাবে উন্নত সভ্যতায় পৌঁছে দিয়েছে। তাই উক্তিটি যথার্থ।

এমসিকিউ

১। মানুষ গণনার জন্য সর্বপ্রথম কোন পদ্ধতি ব্যবহার করত?

ক) হায়ারোগ্লিফিক্স
খ) রোমান
গ) হাতের আঙুল ও নুড়িপাথর
ঘ) দশমিক

সঠিক উত্তর: গ) হাতের আঙুল ও নুড়িপাথর

ব্যাখ্যা: সভ্যতার শুরুতে আদিম মানুষ গণনার জন্য হাতের আঙুল, নুড়িপাথর, দড়ির গিট বা গুহার গায়ে দাগ কাটা পদ্ধতি ব্যবহার করত। এটিই ছিল সংখ্যা পদ্ধতির প্রাথমিক রূপ।

২। কোন সংখ্যা পদ্ধতিটি নন-পজিশনাল?

ক) বাইনারি
খ) অক্টাল
গ) হায়ারোগ্লিফিক্স
ঘ) ডেসিমেল

সঠিক উত্তর: গ) হায়ারোগ্লিফিক্স

ব্যাখ্যা: হায়ারোগ্লিফিক্স একটি প্রাচীন মিশরীয় সংখ্যা পদ্ধতি। এতে অংকের কোনো স্থানীয় মান (Place Value) নেই, তাই এটি নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি। বাকি সবকটি পজিশনাল।

৩। 'O' (শূন্য) এর উদ্ভব হয় কোন সংখ্যা পদ্ধতির মাধ্যমে?

ক) রোমান
খ) হিন্দু-আরবীয় (দশমিক)
গ) মায়া
ঘ) ব্যাবিলনীয়

সঠিক উত্তর: খ) হিন্দু-আরবীয় (দশমিক)

ব্যাখ্যা: ভারতীয় গণিতবিদরা সর্বপ্রথম শূন্য (০)-এর ধারণা দেন এবং আরবদের মাধ্যমে তা ইউরোপে ছড়িয়ে পড়ে। তাই দশমিক পদ্ধতিকে হিন্দু-আরবীয় সংখ্যা পদ্ধতিও বলা হয়।

৪। পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে কোনো সংখ্যার মান বের করার জন্য প্রয়োজন—
i. অংকটির নিজস্ব মান
ii. সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি
iii. অংকটির স্থানীয় মান

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা: পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে একটি সংখ্যার মান নির্ণয় করতে তিনটি উপাদানই অপরিহার্য: নিজস্ব মান (Face Value), বেস (Base), এবং স্থানীয় মান (Place Value)।

৫। (১০)১৬ সংখ্যাটির সমকক্ষ দশমিক মান কত?

ক) ১০
খ) ১৬
গ) ২০
ঘ) ২৫

সঠিক উত্তর: খ) ১৬

ব্যাখ্যা: হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা (১০)১৬ কে দশমিকে রূপান্তর: ১ × ১৬¹ + ০ × ১৬⁰ = ১৬ + ০ = ১৬।

৬। হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতির বেস কত?

ক) ২
খ) ৮
গ) ১০
ঘ) ১৬

সঠিক উত্তর: ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা: হেক্সাডেসিমেল শব্দটিতে 'হেক্সা' মানে ৬ এবং 'ডেসিমেল' মানে ১০। মোট ১৬টি অংক বা চিহ্ন (০-৯ এবং A-F) ব্যবহৃত হয় বলে এর বেস ১৬।

৭। বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির মৌলিক অংকগুলো কী কী?

ক) ০, ১, ২
খ) ১, ২
গ) ০, ১
ঘ) ০ থেকে ৯

সঠিক উত্তর: গ) ০, ১

ব্যাখ্যা: বাইনারি (Binary) শব্দের অর্থ দুই। এই পদ্ধতিতে শুধুমাত্র দুটি অংক—০ (শূন্য) এবং ১ (এক) ব্যবহৃত হয়।

৮। কোন সংখ্যা পদ্ধতিতে 'C' প্রতীকটি ব্যবহৃত হয়?

ক) অক্টাল
খ) বাইনারি
গ) দশমিক
ঘ) হেক্সাডেসিমেল

সঠিক উত্তর: ঘ) হেক্সাডেসিমেল

ব্যাখ্যা: হেক্সাডেসিমেল পদ্ধতিতে ১০ থেকে ১৫ পর্যন্ত মান প্রকাশ করতে ইংরেজি বর্ণ ব্যবহার করা হয়। এখানে A=10, B=11, C=12।

৯। (৭৭)৮ সংখ্যাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক) (৭৮)৮
খ) (১০০)৮
গ) (৭৮)১০
ঘ) (৮০)৮

সঠিক উত্তর: খ) (১০০)৮

ব্যাখ্যা: অক্টাল পদ্ধতিতে সর্বোচ্চ অংক ৭। তাই ৭ এর সাথে ১ যোগ করলে হাতে ১ থাকে এবং ফলাফল ০ হয়। (৭৭)৮ + ১ = (১০০)৮। (যেমন দশমিকে ৯৯ এর পরে ১০০)।

১০। কম্পিউটার ডিজাইনে কোন সংখ্যা পদ্ধতি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়?

ক) দশমিক
খ) বাইনারি
গ) অক্টাল
ঘ) রোমান

সঠিক উত্তর: খ) বাইনারি

ব্যাখ্যা: কম্পিউটার ইলেকট্রনিক সিগন্যাল (On/Off বা High/Low) দিয়ে কাজ করে, যা বাইনারি ০ এবং ১ এর সাথে সরাসরি সামঞ্জস্যপূর্ণ। তাই কম্পিউটারে বাইনারি পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়।

১১। নিচের কোনটি ৩ বিটের সংখ্যা পদ্ধতি?

ক) বাইনারি
খ) অক্টাল
গ) দশমিক
ঘ) হেক্সাডেসিমেল

সঠিক উত্তর: খ) অক্টাল

ব্যাখ্যা: অক্টাল পদ্ধতির বেস ৮, যা ২³। অর্থাৎ অক্টাল এর প্রতিটি অংককে প্রকাশ করতে ৩টি বাইনারি বিটের প্রয়োজন হয়।

১২। র‍্যাডিক্স পয়েন্ট (Radix Point) কী নির্দেশ করে?

ক) ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশ
খ) পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ অংশ
গ) এমএসডি ও এলএসডি
ঘ) অংক ও ভিত্তি

সঠিক উত্তর: খ) পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ অংশ

ব্যাখ্যা: পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে যে বিন্দু (.) দিয়ে পূর্ণসংখ্যা (Integer) এবং ভগ্নাংশ (Fraction) অংশকে আলাদা করা হয়, তাকে র‍্যাডিক্স পয়েন্ট বলে।

১৩। MSD এর পূর্ণরূপ কী?

ক) Most Significant Digit
খ) Most Significant Data
গ) Main System Digit
ঘ) Most System Data

সঠিক উত্তর: ক) Most Significant Digit

ব্যাখ্যা: একটি সংখ্যার সবচেয়ে বামের অংকটির স্থানীয় মান বা গুরুত্ব সবচেয়ে বেশি, তাই তাকে Most Significant Digit (MSD) বা সর্বোচ্চ গুরুত্বের অংক বলে।

১৪। (১২৭.৪৫)১০ সংখ্যাটিতে LSD কোনটি?

ক) ১
খ) ৭
গ) ৪
ঘ) ৫

সঠিক উত্তর: ঘ) ৫

ব্যাখ্যা: LSD বা Least Significant Digit হলো সংখ্যার সবচেয়ে ডানের অংক, যার স্থানীয় মান সবচেয়ে কম। এখানে ৫ হলো সেই অংক।

১৫। পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতির বৈশিষ্ট্য হলো—
i. বেস বা ভিত্তি থাকে
ii. স্থানীয় মান থাকে না
iii. রেডিক্স পয়েন্ট থাকে

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: খ) i ও iii

ব্যাখ্যা: পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে অবশ্যই বেস বা ভিত্তি, স্থানীয় মান এবং রেডিক্স পয়েন্ট (প্রয়োজনে) থাকে। স্থানীয় মান থাকে না—এটি নন-পজিশনাল এর বৈশিষ্ট্য।

১৬। দশমিক সংখ্যা ১২ এর বাইনারি মান কত?

ক) ১০১০
খ) ১১০০
গ) ১১১০
ঘ) ১০১১

সঠিক উত্তর: খ) ১১০০

ব্যাখ্যা: ১২ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে: ১২/২=৬(০), ৬/২=৩(০), ৩/২=১(১), ১/২=০(১)। নিচ থেকে উপরে সাজালে ১১০০।

নিচের উদ্দীপকটি পড়ো এবং ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
মি. এক্স তার বন্ধুকে বলল, "আমার কাছে (১১০)২ টাকা আছে।" বন্ধু ভাবল তার কাছে ১১০ টাকা আছে।

১৭। মি. এক্স এর টাকার পরিমাণ দশমিকে কত?

ক) ৪ টাকা
খ) ৫ টাকা
গ) ৬ টাকা
ঘ) ১ টাকা

সঠিক উত্তর: গ) ৬ টাকা

ব্যাখ্যা: (১১০)২ = ১×২² + ১×২¹ + ০×২⁰ = ৪ + ২ + ০ = ৬ টাকা।

১৮। উদ্দীপকের সংখ্যাটি যদি অক্টাল হতো, তবে দশমিকে তার মান কত হতো?

ক) ৬৪
খ) ৭২
গ) ৮০
ঘ) ৮৮

সঠিক উত্তর: খ) ৭২

ব্যাখ্যা: (১১০)৮ = ১×৮² + ১×৮¹ + ০×৮⁰ = ৬৪ + ৮ + ০ = ৭২।

১৯। বাইনারি সিস্টেমে ১+১ যোগ করলে কত হয়?

ক) ২
খ) ১০
গ) ১
ঘ) ১১

সঠিক উত্তর: খ) ১০

ব্যাখ্যা: বাইনারিতে ১+১ = ২ হয়, কিন্তু বাইনারিতে ২ লেখা যায় না (বেস ২)। তাই ২ এর বাইনারি মান ১০ (শূণ্য বসে এবং হাতে ১ থাকে)।

২০। (২৯)৮ সংখ্যাটি সঠিক নয় কেন?

ক) বেস উল্লেখ নেই
খ) ৯ অংকটি অক্টালে নেই
গ) এটি দশমিক সংখ্যা
ঘ) সংখ্যাটি খুব ছোট

সঠিক উত্তর: খ) ৯ অংকটি অক্টালে নেই

ব্যাখ্যা: অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিতে ০ থেকে ৭ পর্যন্ত মোট ৮টি অংক ব্যবহৃত হয়। ৮ এবং ৯ এই পদ্ধতিতে মৌলিক অংক হিসেবে নেই। তাই (২৯)৮ ভুল।

২১। ইউনিকোড (Unicode) কত বিটের হতে পারে?

ক) ৮ বিট
খ) ১৬ বিট
গ) ৩২ বিট
ঘ) ৬৪ বিট

সঠিক উত্তর: খ) ১৬ বিট

ব্যাখ্যা: ইউনিকোড মূলত ১৬ বিটের একটি এনকোডিং পদ্ধতি, যার মাধ্যমে বিশ্বের প্রায় সকল ভাষার অক্ষরকে কোডভুক্ত করা হয়েছে। (বর্তমানে এর ব্যাপ্তি বেড়েছে, তবে মূল স্ট্যান্ডার্ড ১৬ বিট হিসেবেই পাঠ্যপুস্তকে পরিচিত)।

২২। নিচের কোনটি আলফানিউমেরিক কোড?

ক) BCD
খ) ASCII
গ) Binary
ঘ) Octal

সঠিক উত্তর: খ) ASCII

ব্যাখ্যা: ASCII (American Standard Code for Information Interchange) হলো একটি আলফানিউমেরিক কোড যা দিয়ে অক্ষর, সংখ্যা এবং বিশেষ চিহ্ন প্রকাশ করা যায়।

২৩। দশমিক সংখ্যা ৯১ এর হেক্সাডেসিমেল রূপ কোনটি?

ক) 5A
খ) 5B
গ) 6A
ঘ) 4F

সঠিক উত্তর: খ) 5B

ব্যাখ্যা: ৯১ কে ১৬ দিয়ে ভাগ করলে: ৯১ = ১৬×৫ + ১১। ভাগফল ৫, ভাগশেষ ১১। হেক্সাডেসিমেলে ১১ এর মান 'B'। তাই উত্তর 5B।

২৪। প্রাচীন ব্যাবিলনীয় সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি কত ছিল?

ক) ১০
খ) ২০
গ) ৬০
ঘ) ১০০

সঠিক উত্তর: গ) ৬০

ব্যাখ্যা: প্রাচীন ব্যাবিলনীয়রা ষাট-ভিত্তিক (Sexagesimal) সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করত। আমরা যে সময়ের মিনিট-সেকেন্ড হিসাব করি, তা এখান থেকেই এসেছে।

২৫। সংখ্যা পদ্ধতি আবিষ্কারের ফলে—
i. বাণিজ্যের প্রসার ঘটেছে
ii. বিজ্ঞানের অগ্রগতি হয়েছে
iii. জটিল হিসাব নিকাশ সহজ হয়েছে

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা: সংখ্যা পদ্ধতির আবিষ্কার এবং বিশেষ করে শূন্য ও স্থানীয় মানের ধারণা ব্যবসা-বাণিজ্য, বিজ্ঞান, মহাকাশ গবেষণা এবং আধুনিক প্রযুক্তির সকল জটিল হিসাবকে সহজ ও সম্ভব করেছে।