সংখ্যা পদ্ধতির রূপান্তর - ১: ডেসিমেল থেকে বাইনারি, অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল

সংখ্যা পদ্ধতির রূপান্তর - ১: ডেসিমেল থেকে বাইনারি, অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল

সবাইকে স্বাগতম আজকের আইসিটি ক্লাসে! আশা করি তোমরা সবাই ভালো আছো। আজকে আমরা আইসিটির অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ এবং মজার একটি টপিক নিয়ে আলোচনা করব। সেটা হলো সংখ্যা পদ্ধতির রূপান্তর। আজকের এই লেকচার শেষে আমরা- ১। দশমিক পূর্ণসংখ্যাকে বাইনারি, অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করতে পারব, ২। দশমিক ভগ্নাংশকে কীভাবে অন্য বেসে নিতে হয় তা শিখব এবং ৩। রূপান্তরের যে গোল্ডেন রুল বা সাধারণ নিয়ম আছে, সেটা মাস্টার করতে পারব। চলো শুরু করা যাক!

আমরা দেখি '99', কম্পিউটার দেখে '1100011'!

শুরুতেই একটা মজার দৃশ্য চিন্তা করি। ধরো, তুমি তোমার ক্যালকুলেটরে বা কম্পিউটারে '৯৯' টাইপ করলে। তুমি স্ক্রিনে দেখছ ৯৯, কিন্তু কম্পিউটারের ব্রেইন বা প্রসেসর কি ৯৯ চেনে? একদমই না! সে চেনে শুধু বিদ্যুৎ আছে (১) আর বিদ্যুৎ নেই (০)। তুমি যখন ৯৯ চাপলে, প্রসেসর সেটাকে দেখল '১-১-০-০-০-১-১' হিসেবে। এখন প্রশ্ন হলো, এই যে আমাদের পরিচিত সংখ্যাগুলো কীভাবে কম্পিউটারের ভাষায় বা অন্য কোনো সংখ্যা পদ্ধতিতে পরিবর্তিত হয়? এই ম্যাজিকটা কীভাবে কাজ করে? আজকের ক্লাসে আমরা সেই রহস্যটাই ভেদ করব।

রূপান্তরের সাধারণ নিয়ম (The Golden Rule)

সংখ্যা রূপান্তরের অনেক নিয়ম বইতে থাকতে পারে, কিন্তু আমি তোমাদের একটা 'গোল্ডেন রুল' বা সাধারণ নিয়ম শিখিয়ে দিচ্ছি। এটা মনে রাখলে আর কিছুই মুখস্থ করতে হবে না। নিয়মটা খুব সহজ। ডেসিমেল থেকে আমরা যখনই অন্য কোনো বেসে (যেমন বাইনারি, অক্টাল বা হেক্সা) যাব, তখন দুটো কাজ করব। প্রথমত, যদি সংখ্যাটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে যে বেসে যেতে চাই, সেই বেস দিয়ে সংখ্যাটিকে বারবার 'ভাগ' করব এবং ভাগশেষগুলো জমিয়ে রাখব। আর যদি ভগ্নাংশ হয়? তাহলে ঠিক উল্টোটা! মানে 'গুণ' করব। এই স্লাইডের চার্টটা ভালো করে খেয়াল করো—পূর্ণসংখ্যার জন্য ভাগ, আর ভগ্নাংশের জন্য গুণ। এই সূত্রটা মাথায় গেঁথে নাও।

১. দশমিক থেকে বাইনারি (পূর্ণসংখ্যা)

চলো এবার হাতে-কলমে দেখি। আমাদের উদাহরণ হলো ২৫। এটা একটা ডেসিমেল সংখ্যা। একে বাইনারিতে নেব। গোল্ডেন রুল অনুযায়ী, পূর্ণসংখ্যা তাই 'ভাগ' করব। কত দিয়ে? যেহেতু বাইনারিতে নিচ্ছি, তাই ২ দিয়ে। খেয়াল করো, ২৫ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ১২, আর হাতে থাকে ১। এই ১ টা আমরা পাশে লিখে রাখলাম। এরপর ১২ কে আবার ২ দিয়ে ভাগ, ভাগফল ৬, ভাগশেষ ০। এভাবে চলতে থাকবে যতক্ষণ না ভাগফল ০ হয়। শেষে এসে দেখো ১ কে ২ দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাই ভাগফল ০ আর ভাগশেষ ১। এখন উত্তর লেখার সময় নিচ থেকে উপরের দিকে যাব। একে বলে MSB থেকে LSB। তাহলে উত্তর হলো ১-১-০-০-১।

২. দশমিক থেকে বাইনারি (ভগ্নাংশ)

এবার আসি ভগ্নাংশে। ধরো সংখ্যাটি ০.৩৭৫। নিয়ম অনুযায়ী এবার আমরা ২ দিয়ে 'গুণ' করব। ০.৩৭৫ কে ২ দিয়ে গুণ করলে পাই ০.৭৫। এখানে পূর্ণাংশ হলো ০, সেটা আমরা পাশে রাখলাম। ভগ্নাংশ .৭৫ কে আবার ২ দিয়ে গুণ করি, পাই ১.৫০। পূর্ণাংশ ১ রাখলাম, আর .৫০ নিয়ে আবার কাজ করব। .৫০ কে ২ দিয়ে গুণ করলে পাই ১.০০। দেখো, ভগ্নাংশ পার্টটা .০০ হয়ে গেছে, মানে আমাদের কাজ শেষ! উত্তর লেখার সময় কিন্তু সাবধান! এবার আমরা যাব 'উপর থেকে নিচে'। তাহলে উত্তর হলো পয়েন্ট ০-১-১। অর্থাৎ (.০১১)২।

মিশ্র সংখ্যার উদাহরণ

এখন যদি পরীক্ষায় প্রশ্ন আসে (২৫.৩৭৫) কে বাইনারিতে নাও? ঘাবড়ানোর কিছু নেই। এটা আসলে আগের দুটো অংকের কম্বিনেশন। আমরা ২৫ এর বাইনারি আলাদা বের করব, যেটা পেয়েছিলাম ১১০০১। আর .৩৭৫ এর জন্য আলাদা বের করব, যেটা পেয়েছিলাম .০১১। শেষে দুটোকে জাস্ট পাশাপাশি বসিয়ে দেব। মাঝখানে অবশ্যই রেডিক্স পয়েন্ট বা দশমিক বিন্দুটা দিতে ভুলবে না। ব্যাস! হয়ে গেল আমাদের পূর্ণাঙ্গ রূপান্তর।

৩. দশমিক থেকে অক্টাল (পূর্ণসংখ্যা)

এখন চলুন অক্টালে যাই। নিয়ম কিন্তু এক। শুধু বদলেছে বেস। আগে ২ ছিল, এখন ৮। তাই ৮ দিয়ে ভাগ করতে হবে। উদাহরণ: ১৭৫। বাকি থেকে ৮ দিয়ে ভাগ করে ২১ আসে, ভাগশেষ ৭। ২১ কে ৮ দিয়ে ভাগ করলে ২ পাওয়া যায় আর ভাগশেষ ৫। শেষ বিদ্বেষ হিসেবে ২কে ৮ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ০ এবং ভাগশেষ ২। নিচ থেকে উপরে সাজালে পাই ২৫৭। সহজ তো?

৪. দশমিক থেকে অক্টাল (ভগ্নাংশ)

ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেও একই লজিক, শুধু গুণ করব ৮ দিয়ে। উদাহরণ: ০.১৫। .১৫ গুণ ৮ = ১.২০ (পূর্ণাংশ ১)। হাতে থাকল .২০। .২০ গুণ ৮ = ১.৬০ (পূর্ণাংশ ১)। হাতে থাকল .৬০। .৬০ গুণ ৮ = ৪.৮০ (পূর্ণাংশ ৪)। এভাবে দেখবে এটা চলতেই থাকছে। যদি ৩-৪ বার করার পরেও ০ না আসে, তবে আমরা আর করব না। উত্তর লেখার সময় ওপর থেকে নিচে সাজিয়ে শেষে ডট-ডট-ডট (...) দিয়ে দেব। মানে এটা 'প্রায়' মান।

হেক্সাডেসিমেলে মনে রাখার বিষয়

হেক্সাডেসিমেলে যাওয়ার আগে একটা ছোট্ট ওয়ার্নিং! হেক্সাডেসিমেলে কিন্তু ৯ এর পর আর ১০, ১১ লেখা যায় না। তোমাদের নিশ্চয়ই মনে আছে—১০ হলে লিখব A, ১১ হলে B, ১২ হলে C, এভাবে ১৫ হলে F। যখনই ভাগশেষ ১০ বা তার বেশি আসবে, সাথে সাথে এই অক্ষরগুলো ব্র্যাকেটে লিখে ফেলবে, না হলে উত্তরে ভুল হয়ে যাবে।

৫. দশমিক থেকে হেক্সাডেসিমেল (পূর্ণসংখ্যা)

চলো একটা বড় সংখ্যা নিই, ৪৫০। একে হেক্সাডেসিমেল বা ১৬ বেসে নেব। ৪৫০ কে ১৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ২৮, আর ভাগশেষ থাকে ২। এবার ২৮ কে ১৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ১, আর ভাগশেষ থাকে ১২। সাবধান! ১২ লিখব না, আমরা জানি ১২ মানে হলো C। তাই পাশে (C) লিখে রাখলাম। শেষে ১ কে ১৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ০, ভাগশেষ ১। নিচ থেকে উপরে সাজালে পাই: 1C2। দেখলে তো, A-F এর ব্যবহারটা কত জরুরি!

৬. দশমিক থেকে হেক্সাডেসিমেল (ভগ্নাংশ)

ভগ্নাংশের উদাহরণটা দেখি। ০.৮৫০। ০.৮৫০ কে ১৬ দিয়ে গুণ করলে আসে ১৩.৬০। পূর্ণাংশ ১৩, মানে হলো D। বাকি থাকে .৬০। একে ১৬ দিয়ে গুণ করলে আসে ৯.৬০। পূর্ণাংশ ৯। আবার .৬০ চলে এসেছে! মানে এরপর বারবার ৯ আসতেই থাকবে। তাই আমরা আর কষ্ট করব না। উত্তর হবে: দশমিক D ৯ ৯ ডট ডট ডট। অর্থাৎ (.D99...)১৬।

ক্যালকুলেটর হ্যাক (MCQ এর জন্য)

পরীক্ষায় এমসিকিউ (MCQ) এর জন্য একটা দারুণ শর্টকাট আছে। তোমাদের সায়েন্টিফিক ক্যালকুলেটরে 'Mode' বাটন চেপে 'Base-N' অপশনটি বের করো। সেখানে 'Dec' মোডে সংখ্যাটি লিখে 'Equal' চাপো। এরপর দেখবে ক্যালকুলেটরে ছোট করে Bin, Oct, Hex লেখা বাটন আছে। ওগুলোতে চাপ দিলেই ম্যাজিকের মতো উত্তর চলে আসবে! তবে মনে রেখো, সৃজনশীল প্রশ্নে কিন্তু এভাবে উত্তর লিখে দিলে হবে না, সেখানে পুরো প্রসেস দেখাতে হবে। এটা শুধু চেক করার জন্য।

সতর্কতা ও সাধারণ ভুল

খাতা দেখতে গিয়ে আমরা প্রায়ই কিছু কমন ভুল দেখি। তোমরা যেন সেগুলো না করো, তাই বলে দিচ্ছি। এক, পূর্ণসংখ্যা আর ভগ্নাংশের 'দিক' গুলিয়ে ফেলা। মনে রাখবে, পূর্ণসংখ্যা মানে নিচ থেকে উপরে, আর ভগ্নাংশ মানে উপর থেকে নিচে। দুই, হেক্সাডেসিমেলে ১৪ বা ১৫ কে লেটার (E বা F) না লিখে সংখ্যায় লিখে দেওয়া। এটা করলে কিন্তু পুরো নম্বর কাটা যাবে। আর তিন, ক্যালকুলেশনে তাড়াহুড়ো করা। একটু সাবধানে ভাগ ও গুণ করবে।

নিজে করো (Practice Session)

অনেকক্ষণ তো আমি বকবক করলাম। এবার তোমাদের পালা। স্ক্রিনে ৩টি অংক দেখতে পাচ্ছ। ভিডিওটা এখনই পজ করো। খাতা-কলম নাও এবং এই ৩টি অংক নিজে নিজে করার চেষ্টা করো। তারপর ভিডিও প্লে করে পরের স্লাইডে আমার উত্তরের সাথে মেলাবে। চিটিং করা কিন্তু চলবে না! এখনই পজ করো।

উত্তর মিলিয়ে নাও

আশা করি তোমরা সবাই চেষ্টা করেছ। চলো উত্তরগুলো মিলিয়ে নিই। ১ নম্বরে ৯৯ এর বাইনারি হলো ১১০০১১। মিলেছে? ২ নম্বরে ২০২৩ এর অক্টাল হলো ৩৭৪৭। আর ৩ নম্বরে ৪৯.৬ এর হেক্সাডেসিমেল হলো ৩১.৯৯...। ৪৯ এর জন্য ৩১, আর .৬ এর জন্য ৯৯...। যাদের সব হয়েছে, তাদের অভিনন্দন! যাদের হয়নি, তারা ভিডিওটা একটু পিছিয়ে আবার দেখে নাও কোথায় ভুল হলো।

আজকের সারসংক্ষেপ

আজকের ক্লাসে আমরা অনেক গুরুত্বপূর্ণ বিষয় শিখলাম। মূল কথা একটাই—ডেসিমেল থেকে অন্য কোথাও যেতে হলে পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করব, আর ভগ্নাংশকে গুণ করব। আর হ্যাঁ, হেক্সাডেসিমেলের লেটারগুলোর কথা ভুলো না। এই বেসিকটা ক্লিয়ার থাকলে সংখ্যা পদ্ধতির বাকি টপিকগুলো তোমাদের কাছে পানির মতো সহজ লাগবে।

বাড়ির কাজ (Homework)

যাওয়ার আগে তোমাদের জন্য একটা হোমওয়ার্ক। এটা একটু অন্যরকম। তোমার ক্লাসের রোল নম্বর নিশ্চয়ই জানো? সেই রোল নম্বরকে বাইনারি, অক্টাল আর হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর করবে। আর তোমার মোবাইল নাম্বারের শেষ দুটো ডিজিটকে দশমিকের পরে বসিয়ে (যেমন .৮৫) সেটাকেও তিন পদ্ধতিতে রূপান্তর করবে। প্র্যাকটিস করো, কারণ প্র্যাকটিসই তোমাকে পারফেক্ট করবে। আগামী ক্লাসে দেখা হবে নতুন টপিক নিয়ে। ভালো থেকো সবাই, আল্লাহ হাফেজ!

সৃজনশীল প্রশ্ন

সৃজনশীল প্রশ্ন ১

মি. জামান আইসিটি ক্লাসে সংখ্যা পদ্ধতি পড়াচ্ছিলেন। তিনি বোর্ডে (৩৮.১২৫)₁₀ সংখ্যাটি লিখলেন এবং ছাত্রদের বললেন, "কম্পিউটার এই সংখ্যাটি সরাসরি বুঝতে পারে না, তাকে তার নিজস্ব ভাষায় বুঝিয়ে দিতে হয়।" এরপর তিনি অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল পদ্ধতির সুবিধাও ব্যাখ্যা করলেন।

ক) সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি কী?
খ) (৩)₂ সংখ্যাটি সঠিক নয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত সংখ্যাটিকে বাইনারিতে রূপান্তর কর।
ঘ) উদ্দীপকের সংখ্যাটিকে অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করে কোনটিতে প্রকাশ করা সুবিধাজনক? বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

(ক) কোনো সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মোট মৌলিক চিহ্ন বা অঙ্কের সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি বলে।

(খ) বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির বেস হলো ২ এবং এতে ব্যবহৃত মৌলিক অঙ্ক দুটি হলো ০ এবং ১। যেকোনো বাইনারি সংখ্যা গঠনে শুধুমাত্র এই দুটি অঙ্কই ব্যবহার করা যায়। (৩)₂ সংখ্যাটিতে '৩' অঙ্কটি ব্যবহার করা হয়েছে, যা বাইনারি পদ্ধতির মৌলিক অঙ্কের অন্তর্ভুক্ত নয়। তাই (৩)₂ সঠিক সংখ্যা নয়।

(গ) উদ্দীপকের সংখ্যাটি হলো (৩৮.১২৫)₁₀। এটিকে বাইনারিতে রূপান্তর করা হলো:

পূর্ণাংশের (৩৮) রূপান্তর:
২ | ৩৮ - ০
২ | ১৯ - ১
২ | ৯ - ১
২ | ৪ - ০
২ | ২ - ০
২ | ১ - ১
২ | ০ - ১
নিচ থেকে উপরে সাজিয়ে পাই: (১০০১১০)₂

ভগ্নাংশের (.১২৫) রূপান্তর:
.১২৫ × ২ = ০.২৫০ → পূর্ণাংশ ০
.২৫০ × ২ = ০.৫০০ → পূর্ণাংশ ০
.৫০০ × ২ = ১.০০০ → পূর্ণাংশ ১
উপর থেকে নিচে সাজিয়ে পাই: (.০০১)₂

সুতরাং, (৩৮.১২৫)₁₀ = (১০০১১০.০০১)₂

(ঘ) উদ্দীপকের সংখ্যাটি (৩৮.১২৫)₁₀।

অক্টালে রূপান্তর:
পূর্ণাংশ ৩৮:
৮ | ৩৮ - ৬
৮ | ৪ - ৪
৮ | ০ - ৪
সুতরাং (৩৮)₁₀ = (৪৬)₈

ভগ্নাংশ .১২৫:
.১২৫ × ৮ = ১.০০০ → পূর্ণাংশ ১
সুতরাং (.১২৫)₁₀ = (.১)₈
অর্থাৎ, (৩৮.১২৫)₁₀ = (৪৬.১)₈

হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর:
পূর্ণাংশ ৩৮:
১৬ | ৩৮ - ৬
১৬ | ২ - ২
১৬ | ০ - ২
সুতরাং (৩৮)₁₀ = (২৬)₁₆

ভগ্নাংশ .১২৫:
.১২৫ × ১৬ = ২.০০০ → পূর্ণাংশ ২
সুতরাং (.১২৫)₁₀ = (.২)₁₆
অর্থাৎ, (৩৮.১২৫)₁₀ = (২৬.২)₁₆

বিশ্লেষণ:
বাইনারিতে সংখ্যাটি (১০০১১০.০০১)₂ যা লিখতে মোট ৯টি বিট প্রয়োজন।
অক্টালে সংখ্যাটি (৪৬.১)₈ যা লিখতে ৩টি অঙ্ক প্রয়োজন।
হেক্সাডেসিমেলে সংখ্যাটি (২৬.২)₁₆ যা লিখতে ৩টি অঙ্ক প্রয়োজন।

যদিও অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেলে একই সংখ্যক অঙ্ক লাগছে, হেক্সাডেসিমেল পদ্ধতিতে বড় মানের সংখ্যাকে আরও কম ডিজিটে প্রকাশ করা সম্ভব হয় এবং মেমোরি অ্যাড্রেসিং-এ হেক্সাডেসিমেল বেশি প্রচলিত। তবে এই নির্দিষ্ট ছোট সংখ্যাটির ক্ষেত্রে উভয়ই সুবিধাজনক। ডিজিটের সংখ্যার বিচারে বাইনারির চেয়ে অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল উভয়ই সুবিধাজনক।

---

সৃজনশীল প্রশ্ন ২

সোহেল ও রুবেল দুই বন্ধু বাজারে গিয়ে বই কিনল। সোহেলের বইয়ের দাম (৯৯)₁₀ টাকা এবং রুবেলের বইয়ের দাম (৬৩)₁₀ টাকা। সোহেল বলল, "আমার বইয়ের দামটি যদি হেক্সাডেসিমেলে প্রকাশ করা হয় তবে তা দেখতে ভিন্ন হবে।" রুবেল বলল, "আমার বইয়ের দাম অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল উভয় পদ্ধতিতে একই অঙ্ক ব্যবহার করে লেখা যায়।"

ক) বিট (Bit) কী?
খ) দশমিক থেকে বাইনারিতে রূপান্তরের সময় পূর্ণাংশকে ভাগ এবং ভগ্নাংশকে গুণ করা হয় কেন?
গ) সোহেলের বইয়ের দাম হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় নির্ণয় কর।
ঘ) রুবেলের উক্তিটি সঠিক কি না? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই কর।

উত্তর

(ক) বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির মৌলিক অঙ্ক ০ এবং ১ কে বিট (Bit) বলে। এটি 'Binary Digit' এর সংক্ষিপ্ত রূপ।

(খ) দশমিক পূর্ণাংশকে বাইনারিতে নিতে হলে বেস (২) দিয়ে বারবার ভাগ করে ভাগশেষ সংরক্ষণ করতে হয় কারণ পূর্ণাংশের মান বেসের গুণিতক আকারে বাড়ে (যেমন ১, ২, ৪, ৮...)। অন্যদিকে, ভগ্নাংশের মান বেসের ঋণাত্মক পাওয়ার অনুসারে কমে (যেমন ১/২, ১/৪...)। তাই ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যায় পরিণত করতে বেস দিয়ে বারবার গুণ করা হয় এবং পূর্ণাংশটি সংরক্ষণ করা হয়।

(গ) সোহেলের বইয়ের দাম (৯৯)₁₀।
হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর:
১৬ | ৯৯ - ৩
১৬ | ৬ - ৬
১৬ | ০ - ৬

নিচ থেকে উপরে সাজিয়ে পাই: (৬৩)₁₆
সুতরাং, সোহেলের বইয়ের দাম হেক্সাডেসিমেলে (৬৩)₁₆ টাকা।

(ঘ) রুবেলের বইয়ের দাম (৬৩)₁₀।

অক্টালে রূপান্তর:
৮ | ৬৩ - ৭
৮ | ৭ - ৭
৮ | ০ - ৭
সুতরাং, (৬৩)₁₀ = (৭৭)₈

হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর:
১৬ | ৬৩ - ১৫ (১৫ এর হেক্সাডেসিমেল মান F)
১৬ | ৩ - ৩
১৬ | ০ - ৩
সুতরাং, (৬৩)₁₀ = (৩F)₁₆

যাচাই:
রুবেল বলেছিল তার বইয়ের দাম অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল উভয় পদ্ধতিতে একই অঙ্ক ব্যবহার করে লেখা যায়।
অক্টালে মান (৭৭)₈, যেখানে ব্যবহৃত অঙ্কগুলো '৭'।
হেক্সাডেসিমেলে মান (৩F)₁₆, যেখানে ব্যবহৃত অঙ্কগুলো '৩' এবং 'F'।

স্পষ্টতই, ৭৭ এবং ৩F একই অঙ্ক নয়। সুতরাং, রুবেলের উক্তিটি সঠিক নয়।

এমসিকিউ

১. (২১)₁₀ এর সমকক্ষ বাইনারি মান কোনটি?

ক) ১০১০১
খ) ১১১০১
গ) ১০১১১
ঘ) ১১০০১

সঠিক উত্তর: ক) ১০১০১

ব্যাখ্যা:
২১ ÷ ২ = ১০, ভাগশেষ ১
১০ ÷ ২ = ৫, ভাগশেষ ০
৫ ÷ ২ = ২, ভাগশেষ ১
২ ÷ ২ = ১, ভাগশেষ ০
১ ÷ ২ = ০, ভাগশেষ ১
নিচ থেকে উপরে সাজিয়ে পাই ১০১০১।

---

২. (২৫.৩৭৫)₁₀ এর বাইনারি মান কত?

ক) ১১০০১.০১১
খ) ১১০০১.১০১
গ) ১১০০১.১১০
ঘ) ১১০০১.০০০

সঠিক উত্তর: ক) ১১০০১.০১১

ব্যাখ্যা:
২৫ এর বাইনারি: ১১০০১।
০.৩৭৫ × ২ = ০.৭৫ (০)
০.৭৫ × ২ = ১.৫ (১)
০.৫ × ২ = ১.০ (১)
সুতরাং, ১১০০১.০১১।

---

৩. দশমিক সংখ্যা ৯৯ এর বাইনারি রূপ কোনটি?

ক) ১১০০০০১
খ) ১১০০১০১
গ) ১১০০০১১
ঘ) ১১০০১১১

সঠিক উত্তর: গ) ১১০০০১১

ব্যাখ্যা:
৬৪+৩২+২+১ = ৯৯।
৬৪ (১), ৩২ (১), ১৬ (০), ৮ (০), ৪ (০), ২ (১), ১ (১) → ১১০০০১১।

---

৪. (০.১২৫)₁₀ কে বাইনারিতে প্রকাশ করলে কত হবে?

ক) ০.১
খ) ০.০১
গ) ০.০০১
ঘ) ০.১১১

সঠিক উত্তর: গ) ০.০০১

ব্যাখ্যা:
০.১২৫ × ২ = ০.২৫ (০)
০.২৫ × ২ = ০.৫ (০)
০.৫ × ২ = ১.০ (১)
উপর থেকে নিচে: .০০১।

---

৫. (১২৭)₁₀ এর বাইনারি মান কোনটি?

ক) ১১১১১১১
খ) ১০০০
গ) ১১১০০০০
ঘ) ১০০০০০০

সঠিক উত্তর: ক) ১১১১১১১

ব্যাখ্যা:
১২৮ = ১০০০০০০০, সুতরাং ১২৭ = ১১১১১১১ (৭টি ১)।

---

৬. দশমিক সংখ্যা ১ এর পরবর্তী বাইনারি সংখ্যা কোনটি?

ক) ২
খ) ১০
গ) ১১
ঘ) ১০০

সঠিক উত্তর: খ) ১০

ব্যাখ্যা:
দশমিক ১ = বাইনারি ১।
১ এর সাথে ১ যোগ করলে বাইনারিতে ১০ হয় (১+১=১০)।

---

৭. (০.৬২৫)₁₀ কে বাইনারিতে রূপান্তর করলে কী পাওয়া যায়?

ক) ০.১০১
খ) ০.১১০
গ) ০.০১১
ঘ) ০.১১১

সঠিক উত্তর: ক) ০.১০১

ব্যাখ্যা:
০.৬২৫ × ২ = ১.২৫ (১)
০.২৫ × ২ = ০.৫ (০)
০.৫ × ২ = ১.০ (১)
→ ১০১।

---

৮. (৩৭)₁₀ সংখ্যাটির অক্টাল মান কত?

ক) ৪৫
খ) ৪৩
গ) ৪৭
ঘ) ৫৩

সঠিক উত্তর: ক) ৪৫

ব্যাখ্যা:
৩৭ ÷ ৮ = ৪, ভাগশেষ ৫
৪ ÷ ৮ = ০, ভাগশেষ ৪
নিচ থেকে উপরে: ৪৫।

---

৯. (২০০)₁₀ কে অক্টাল সংখ্যায় রূপান্তর করলে কত হবে?

ক) ৩১০
খ) ২১০
গ) ৩২০
ঘ) ৩৩০

সঠিক উত্তর: ক) ৩১০

ব্যাখ্যা:
২০০ ÷ ৮ = ২৫, ভাগশেষ ০
২৫ ÷ ৮ = ৩, ভাগশেষ ১
৩ ÷ ৮ = ০, ভাগশেষ ৩
নিচ থেকে উপরে: ৩১০।

---

১০. দশমিক সংখ্যা ৬০ এর অক্টাল মান কোনটি?

ক) ৭২
খ) ৭৪
গ) ৭৬
ঘ) ৭০

সঠিক উত্তর: খ) ৭৪

ব্যাখ্যা:
৬০ ÷ ৮ = ৭, ভাগশেষ ৪
৭ ÷ ৮ = ০, ভাগশেষ ৭
নিচ থেকে উপরে: ৭৪।

---

১১. (০.৫৬২৫)₁₀ এর অক্টাল মান কত?

ক) ০.৪
খ) ০.৪৩
গ) ০.৪৫
ঘ) ০.৪৭

সঠিক উত্তর: গ) ০.৪৫

ব্যাখ্যা:
০.৫৬২৫ × ৮ = ৪.৫ (৪)
০.৫ × ৮ = ৪.০ (৪)
উপর থেকে নিচে: .৪৪। দুঃখিত, সঠিক উত্তর ০.৪৫ হবে না, ০.৪৪ হবে।
গণনা: ০.৫৬২৫ * ৮ = ৪.৫ -> ৪
.৫ * ৮ = ৪.০ -> ৪
সঠিক উত্তর ০.৪৪। অপশনে ভুল থাকলে নিকটতম বা সঠিকটি বাছতে হবে। এখানে অপশন গ) ০.৪৫ দেওয়া হয়েছে, যা ভুল। সঠিক উত্তর হবে ০.৪৪। তবে প্রচলিত প্রশ্নে অনেক সময় .৫৬২৫ কে .৪৫ ধরা হয় না।
আসুন আবার দেখি:
.৫৬২৫ * ৮ = ৪.৫। পূর্ণাংশ ৪।
রইল .৫। .৫ * ৮ = ৪.০। পূর্ণাংশ ৪।
সোজা .৪৪। অপশনে নেই।
আসুন প্রশ্নটি পরিবর্তন করি: (০.১২৫)₁₀ এর অক্টাল মান?
.১২৫ * ৮ = ১.০ -> .১
অপশন পরিবর্তন করে দিচ্ছি সঠিক উত্তরের জন্য।

সংশোধিত প্রশ্ন ১১. (০.১২৫)₁₀ এর অক্টাল মান কত?

ক) ০.১
খ) ০.২
গ) ০.৩
ঘ) ০.৪

সঠিক উত্তর: ক) ০.১

ব্যাখ্যা:
০.১২৫ × ৮ = ১.০০০। পূর্ণাংশ ১। উত্তর .১।

---

১২. (৮৫)₁₀ এর অক্টাল মান কোনটি?

ক) ১০৫
খ) ১২৫
গ) ২১৫
ঘ) ১৫২

সঠিক উত্তর: খ) ১২৫

ব্যাখ্যা:
৮৫ ÷ ৮ = ১০, ভাগশেষ ৫
১০ ÷ ৮ = ১, ভাগশেষ ২
১ ÷ ৮ = ০, ভাগশেষ ১
নিচ থেকে উপরে: ১২৫।

---

১৩. (১২)₁₀ সংখ্যাটির অক্টাল রূপ কোনটি?

ক) ১২
খ) ১৪
গ) ১৬
ঘ) ২০

সঠিক উত্তর: খ) ১৪

ব্যাখ্যা:
১২ ÷ ৮ = ১, ভাগশেষ ৪
১ ÷ ৮ = ০, ভাগশেষ ১
→ ১৪।

---

১৪. (২৭)₁₀ এর হেক্সাডেসিমেল মান কত?

ক) ১A
খ) ১B
গ) ১C
ঘ) ১D

সঠিক উত্তর: খ) ১B

ব্যাখ্যা:
২৭ ÷ ১৬ = ১, ভাগশেষ ১১।
হেক্সাডেসিমেলে ১১ এর মান B।
সুতরাং ১B।

---

১৫. দশমিক সংখ্যা ২৫৫০ এর হেক্সাডেসিমেল মান কোনটি?

ক) ৯F৬
খ) ৯F৪
গ) ৯E৬
ঘ) ৮F৬

সঠিক উত্তর: ক) ৯F৬

ব্যাখ্যা:
২৫৫০ ÷ ১৬ = ১৫৯, ভাগশেষ ৬
১৫৯ ÷ ১৬ = ৯, ভাগশেষ ১৫ (F)
৯ ÷ ১৬ = ০, ভাগশেষ ৯
নিচ থেকে উপরে: ৯F৬।

---

১৬. (০.৮৫০)₁₀ এর হেক্সাডেসিমেল মান কত (তিন ঘর পর্যন্ত)?

ক) ০.D99
খ) ০.C99
গ) ০.D9
ঘ) ০.A99

সঠিক উত্তর: ক) ০.D99

ব্যাখ্যা:
.৮৫০ × ১৬ = ১৩.৬ (১৩=D)
.৬ × ১৬ = ৯.৬ (৯)
.৬ × ১৬ = ৯.৬ (৯)
→ .D99...

---

১৭. (৪৯)₁₀ এর হেক্সাডেসিমেল মান কত?

ক) ৩১
খ) ৩২
গ) ৩০
ঘ) ৩৩

সঠিক উত্তর: ক) ৩১

ব্যাখ্যা:
৪৯ ÷ ১৬ = ৩, ভাগশেষ ১
৩ ÷ ১৬ = ০, ভাগশেষ ৩
→ ৩১।

---

১৮. (১০)₁₀ এর হেক্সাডেসিমেল মান কোনটি?

ক) A
খ) B
গ) C
ঘ) D

সঠিক উত্তর: ক) A

ব্যাখ্যা:
দশমিক ১০ এর হেক্সাডেসিমেল প্রতীক হলো A।

---

১৯. (১৫)₁₀ সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমেলে প্রকাশ করলে কী হবে?

ক) E
খ) F
গ) ১০
ঘ) ১৫

সঠিক উত্তর: খ) F

ব্যাখ্যা:
দশমিক ১৫ এর হেক্সাডেসিমেল প্রতীক হলো F।

---

২০. দশমিক পূর্ণসংখ্যাকে বাইনারিতে রূপান্তর করার নিয়ম কোনটি?

ক) সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে গুণ করতে হয়
খ) সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়
গ) সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে বিয়োগ করতে হয়
ঘ) সংখ্যাটিকে ১০ দিয়ে ভাগ করতে হয়

সঠিক উত্তর: খ) সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়

ব্যাখ্যা:
পূর্ণসংখ্যাকে যেকোনো বেসে নিতে হলে ঐ বেস দিয়ে বারবার ভাগ করে ভাগশেষ সংরক্ষণ করতে হয়।

---

২১. দশমিক ভগ্নাংশকে হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর করতে হলে কী করতে হয়?

ক) ১৬ দিয়ে ভাগ
খ) ১৬ দিয়ে গুণ
গ) ১০ দিয়ে গুণ
ঘ) ৮ দিয়ে ভাগ

সঠিক উত্তর: খ) ১৬ দিয়ে গুণ

ব্যাখ্যা:
ভগ্নাংশকে রূপান্তরের সময় ভিত্তি বা বেস দিয়ে গুণ করতে হয় এবং পূর্ণাংশ সংরক্ষণ করতে হয়।

---

২২. সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি বলতে কী বোঝায়?

ক) মোট ব্যবহৃত অঙ্ক বা চিহ্নের সংখ্যা
খ) শুধুমাত্র ১ ও ০ এর ব্যবহার
গ) সংখ্যার স্থানীয় মান
ঘ) সংখ্যার ধরণ

সঠিক উত্তর: ক) মোট ব্যবহৃত অঙ্ক বা চিহ্নের সংখ্যা

ব্যাখ্যা:
কোনো সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মোট মৌলিক চিহ্নের সংখ্যাই হলো ঐ পদ্ধতির বেস। যেমন বাইনারিতে ২, ডেসিমেলে ১০।

---

২৩. দশমিক থেকে বাইনারিতে রূপান্তরের জন্য -
i. পূর্ণাংশকে ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়
ii. ভগ্নাংশকে ২ দিয়ে গুণ করতে হয়
iii. ভাগশেষকে নিচ থেকে উপরে সাজাতে হয়

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা:
দশমিক থেকে বাইনারিতে রূপান্তরের তিনটি ধাপই সঠিক। পূর্ণাংশের ক্ষেত্রে ভাগ এবং ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে গুণ করা হয়।

---

২৪. (১২)₁₀ সংখ্যাটি -
i. বাইনারিতে ১১০০
ii. অক্টালে ১৪
iii. হেক্সাডেসিমেলে C

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা:
(১২)₁₀ = (১১০০)₂ (৮+৪=১২)
(১২)₁₀ = (১৪)₈ (১×৮+৪=১২)
(১২)₁₀ = (C)₁₆ (C এর মান ১২)

---

২৫. দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি ১০ হওয়ার কারণ -
i. এটি মানুষের আঙুলের সংখ্যার সাথে মিল রেখে তৈরি
ii. এতে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত ১০টি অঙ্ক আছে
iii. এটি কম্পিউটারে সরাসরি ব্যবহৃত হয়

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

ব্যাখ্যা:
দশমিক পদ্ধতি মানুষের ব্যবহারের জন্য সহজ এবং এতে ১০টি অঙ্ক আছে। কম্পিউটার সরাসরি বাইনারি ব্যবহার করে, দশমিক নয়। তাই iii সঠিক নয়।