বুলিয়ান ফাংশন সরলীকরণ ও ডিজিটাল সার্কিট অংকন

বুলিয়ান ফাংশন সরলীকরণ ও ডিজিটাল সার্কিট অংকন

সুপ্রিয় শিক্ষার্থীরা, আজকের ক্লাসে তোমাদের স্বাগতম! আজ আমরা এইচএসসি আইসিটি তৃতীয় অধ্যায়ের খুবই গুরুত্বপূর্ণ একটি টপিক নিয়ে আলোচনা করব - সেটি হলো 'বুলিয়ান ফাংশন সরলীকরণ ও ডিজিটাল সার্কিট অংকন'। তোমরা অনেকেই বড় বড় লজিক সমীকরণ দেখে ভয় পাও, তাই না? আজকের পর সেই ভয় আর থাকবে না। আজ আমরা শিখব কীভাবে বড় সমীকরণকে ছোট করা যায় এবং সেই সমীকরণ থেকে কীভাবে লজিক সার্কিট আঁকতে হয়। চলো শুরু করা যাক!

কেন আমরা সরলীকরণ শিখব?

স্ক্রিনের ছবিটা একটু খেয়াল করো। বাম পাশে একটা বিশাল জটপাকানো তারের সার্কিট দেখছো, আর ডান পাশে একটা ছোট্ট চিপ। ধরো, তুমি একজন ইঞ্জিনিয়ার। তোমাকে যদি বলা হয় একই কাজের জন্য এই দুইটার মধ্যে একটা বেছে নিতে, তুমি কোনটা নেবে? নিশ্চয়ই ডানপাশেরটা? কারণ এটা ছোট, সস্তা এবং দ্রুত কাজ করে। বুলিয়ান ফাংশন সরলীকরণের মূল উদ্দেশ্যই এটা - একটা জটিল লজিক সার্কিটকে গাণিতিকভাবে ছোট করে ফেলা, যাতে আমাদের খরচ বাঁচে এবং কম্পিউটার ফাস্ট হয়।

বুলিয়ান উপপাদ্য: মৌলিক সূত্র (Basic Theorems)

সরলীকরণ করার জন্য আমাদের কিছু টুলস বা অস্ত্র লাগবে। এগুলি হলো বুলিয়ান উপপাদ্য। বাম পাশে দেখো OR অপারেশনের নিয়ম। এখানে $A+1=1$ এটা খুব ভালো করে মনে রাখবে - মানে হলো, লজিক OR-এ ইনপুটের একটা যদি সত্য বা ১ হয়, তবে পুরো ফলাফলই ১ হয়ে যায়, বাকি ইনপুট যাই হোক না কেন। আর ডান পাশে AND অপারেশনের নিয়ম। এখানে $A \cdot \bar{A} = 0$ এটা খুব গুরুত্বপূর্ণ। কারণ একটা সিগন্যাল এবং তার উল্টো সিগন্যাল কখনো একসাথে সত্য হতে পারে না, তাই তাদের গুণফল সবসময় শূন্য।

প্রয়োজনীয় বুলিয়ান সূত্রসমূহ (Boolean Laws Toolbox)

এই স্লাইডটা তোমাদের জন্য একটা 'টুলবক্স'। এখানে ৫টা খুবই কাজের সূত্র আছে। বিশেষ করে ২ নম্বরটা দেখো - 'সহায়ক সূত্র' বা Absorption Law। $A + AB = A$। এটা একটু অদ্ভুত লাগে না? মনে হচ্ছে $B$ গায়েব হয়ে গেল! আসলে লজিকের নিয়মে $A$ সত্য হলে $AB$-ও সত্য হতে পারে, কিন্তু $A$ একাই পুরো আউটপুটকে ড্রাইভ করে, তাই $AB$ এর আলাদা গুরুত্ব থাকে না। এই সূত্রটা জানলে তোমরা অনেক বড় অংক এক লাইনে ছোট করে ফেলতে পারবে।

সরলীকরণের ধাপ ও নিয়ম

বীজগণিতে যেমন বদমাশ (BODMAS) নিয়ম আছে, বুলিয়ান অ্যালজেবরাতেও একটা নিয়ম আছে। আমরা সবসময় এই ফ্লোচার্ট অনুযায়ী কাজ করব। সবার আগে ব্র্যাকেটের কাজ, তারপর নট বা বারের কাজ, তারপর গুণ, আর সবার শেষে যোগ। যদি এলোমেলোভাবে করো, তবে উত্তর ভুল হতে পারে। আর একটা প্রো-টিপস দিই - অংক দেখলেই প্রথমে খুঁজবে কিছু কমন নেওয়া যায় কিনা। কমন নিলেই অংক অর্ধেক ছোট হয়ে যায়।

সত্যক সারণি দিয়ে যাচাই

আমরা যে এতক্ষণ বলছি সরলীকরণ মানে সমীকরণ ছোট করা, সেটা আসলে কাজ করে কিনা তা প্রমাণ করা দরকার। এখানে একটা ফাংশন $F = AB + Aar{B}$। এটাকে সরল করলে শুধু $A$ পাওয়া যায়। পাশের সত্যক সারণিটা দেখো। এখানে $A$ এর কলামে যা যা আছে, একদম শেষের $F$ এর কলামেও ঠিক তাই আছে। তার মানে, মাঝখানের এত বড় সমীকরণটা আসলে কিছুই না, শুধু $A$ এর সমান। পরীক্ষার হলে কনফিউশন হলে এভাবে রাফে ট্রুথ টেবিল করে মিলিয়ে নিতে পারো।

উদাহরণ ১: সহজ সরলীকরণ

চলো এবার হাতে-কলমে একটা সহজ অংক করি। সমীকরণটা হলো $AB + A\bar{B}$। ভালো করে তাকাও, দুইটা টার্মেই কিন্তু $A$ আছে। তাহলে আমরা $A$ কমন নিতে পারি। ব্র্যাকেটের ভেতর থাকে $B$ প্লাস $B$-বার। এখন মনে করো তো, আমরা শিখেছিলাম না $A$ প্লাস $A$-বার মানে ১? তাহলে $B$ প্লাস $B$-বার মানেও ১। তাহলে সমীকরণটা হয়ে গেল $A$ ইনটু ১। আর ১ দিয়ে গুণ করলে যা ছিল তাই থাকে। অর্থাৎ উত্তর হলো শুধু $A$। দেখলে? কত সহজ!

উদাহরণ ২: মধ্যম সরলীকরণ

এবার একটু বড় অংকে যাই। এখানে তিনটা টার্ম আছে। ভয় পাওয়ার কিছু নেই। প্রথম দুইটা টার্মের দিকে তাকাও। $\bar{A}$ কমন নেওয়া যায়, তাই না? কমন নিলে ব্র্যাকেটে থাকে $(B + \bar{B})$, যার মান ১। তাহলে থাকলো $\bar{A} + AB$। এখন এখানে একটা চালাকি করা যায়। আমরা শিখেছি $A + \bar{A}B = A + B$। এখানেও ঠিক তাই, শুধু বারের অবস্থান উল্টো। অর্থাৎ $\bar{A}$ থাকবে, আর পাশের $AB$ থেকে $A$ চলে যাবে। উত্তর হবে $\bar{A} + B$। এই শেষ লাইনটা খুব ভালো করে প্র্যাকটিস করবে।

ডি-মর্গ্যানের উপপাদ্য (De Morgan's Laws)

এখন আমরা শিখব লজিক সার্কিটের জাদুকরী সূত্র - ডি-মর্গ্যানের ল। এই সূত্রটা মনে রাখার একটা ছড়া আছে - 'Break the line, change the sign'। অর্থাৎ, উপরের লম্বা বার বা দাগটা ভেঙে ফেলবে, আর মাঝখানের চিহ্নটা উল্টে দেবে। যদি যোগ থাকে গুণ করে দেবে, আর গুণ থাকলে যোগ করে দেবে। পাশের ছবিতে দেখো, বারটা মাঝখান দিয়ে ভেঙে দুই ভাগ হয়ে গেছে, আর প্লাসটা ডট হয়ে গেছে। বড় বড় বার বা হোল-বার (whole bar) থাকলে এই সূত্র দিয়েই শুরু করতে হয়।

উদাহরণ ৩: ডি-মর্গ্যান প্রয়োগ

এটা একটা অ্যাডভান্সড অংক। সমীকরণটা দেখে কঠিন মনে হতে পারে। প্রথমে আমরা ব্র্যাকেটের বাইরের $BC$ দিয়ে ভেতরের সবাইকে গুণ করে দিই। তাহলে পাই $\bar{A}BC$, $\bar{B}BC$ এবং $\bar{C}BC$। এখন মজার ব্যাপার দেখো - দ্বিতীয় টার্মে $B$ এবং $\bar{B}$ আছে। আমরা জানি ভেরিয়েবল আর তার উল্টোটা গুণ করলে জিরো হয়। তাই এই পুরো টার্মটা জিরো। ঠিক একইভাবে তৃতীয় টার্মে $C$ আর $\bar{C}$ মিলে জিরো হয়ে যায়। তাহলে বাকি থাকল কী? শুধু প্রথম অংশটা। $\bar{A}BC$। দেখলে? বিশাল অংক এক নিমিষেই ছোট হয়ে গেল!

সমীকরণ থেকে সার্কিট অংকন

এখন আমরা আর্কিটেক্ট হয়ে যাব। আমাদের সমীকরণ দেওয়া আছে, সার্কিট আঁকতে হবে। সবসময় 'লেয়ার' বা স্তরে স্তরে চিন্তা করবে। প্রথমে ইনপুট লাইনগুলো আঁকবে। এরপর দেখবে কোথায় কোথায় 'বার' বা NOT আছে। এখানে $\bar{A}$ আছে, তাই একটা NOT গেট বসাও। এরপর ব্র্যাকেটের কাজ - $(A+B)$, তাই একটা OR গেট। তারপর গুণের কাজগুলো AND গেট দিয়ে করো। সবশেষে সব অংশকে একটা OR গেট দিয়ে জোড়া লাগিয়ে দাও। ছবিতে দেখো, ধাপে ধাপে বাম থেকে ডানে কীভাবে সার্কিটটা গড়ে উঠেছে।

সার্কিট থেকে সমীকরণ নির্ণয়

এবার উল্টো কাজ। তোমাকে সার্কিট দেওয়া আছে, সমীকরণ বের করতে হবে। এটা গোয়েন্দাগিরির মতো। বাম পাশ থেকে তার বা ওয়্যার (wire) ধরে ধরে এগোবে। প্রথম গেটটা কী? AND গেট। ইনপুট কী কী? $x$ আর $y$। তাহলে এর আউটপুট $xy$। এভাবে প্রতিটি গেটের মাথায় আউটপুট লিখে ফেলবে। সবশেষে দেখবে একটা বড় OR গেট সবগুলোকে একত্র করছে। ব্যাস, সব যোগ করে দিলেই ফাইনাল সমীকরণ পেয়ে যাবে।

নিজে চেষ্টা করো (Classroom Challenge)

অনেক তো আমি বকবক করলাম, এবার তোমাদের পালা। ভিডিওটা এখনই পজ করো। খাতা-কলম নাও। স্ক্রিনে দেওয়া দুইটা প্রবলেম সলভ করার চেষ্টা করো। ভয় নেই, ভুল হলে সমস্যা নেই। (একটু বিরতি)... আশা করি তোমরা চেষ্টা করেছ। প্রথম অংকটায় কমন নিলেই দেখবে উত্তর ছোট হয়ে আসছে। আর দ্বিতীয়টার জন্য দুটো AND গেট আর একটা OR গেট লাগবে, সাথে NOT গেট তো আছেই।

আজকের সারসংক্ষেপ

ক্লাস শেষ করার আগে চলো ঝটপট রিভাইজ দিই। আমরা শিখলাম যে ডিজিটাল লজিকে $1+1=1$ হয়। আমরা জানলাম কীভাবে 'ব্রেক দ্য লাইন, চেঞ্জ দ্য সাইন' বা ডি-মর্গ্যান ল ব্যবহার করতে হয়। আর সবচেয়ে বড় কথা, আমরা এখন ইঞ্জিনিয়ারদের মতো চিন্তা করতে শিখেছি - কীভাবে একটা বড় সার্কিটকে ছোট, সস্তা আর এফিশিয়েন্ট করা যায়। এই স্কিলটা পরবর্তী অধ্যায়গুলোতে খুবই কাজে লাগবে।

বাড়ির কাজ (Home Task)

স্ক্রিনে তোমাদের জন্য কিছু হোমওয়ার্ক দেওয়া থাকল। বিশেষ করে ৩ নম্বর অংকটা ট্রাই করবে, এটা প্রমাণ করতে পারলে বুঝবে তুমি আজকের লেকচার শতভাগ বুঝেছ। কোন প্রশ্ন থাকলে কমেন্টে জানাবে। সবাই ভালো থেকো, দেখা হবে আগামী ক্লাসে নতুন কোনো টপিক নিয়ে। আল্লাহ হাফেজ!

সৃজনশীল প্রশ্ন

সৃজনশীল প্রশ্ন ১

আইসিটি ক্লাসে শিক্ষক বোর্ডে একটি লজিক ফাংশন লিখলেন: $F = ABC + AB'C + ABC'$। তিনি ছাত্রদের বললেন, "এই ফাংশনটি সরাসরি লজিক গেট দিয়ে বাস্তবায়ন করলে সার্কিটটি অনেক বড় হবে, কিন্তু সরলীকরণ করলে এটি খুব ছোট হয়ে যাবে।"

ক) বুলিয়ান উপপাদ্য কী?
খ) লজিক সার্কিট সরলীকরণের সুবিধা ব্যাখ্যা কর।
গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত ফাংশনটি সরলীকরণ কর।
ঘ) উদ্দীপকের মূল ফাংশন এবং সরলীকৃত ফাংশনের লজিক সার্কিট এঁকে গেটের সংখ্যার পার্থক্য বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

(ক) বুলিয়ান অ্যালজেবরায় লজিক ফাংশন সরলীকরণের জন্য যে সকল সূত্র বা নিয়ম ব্যবহার করা হয়, সেগুলোকে বুলিয়ান উপপাদ্য বলে।

(খ) লজিক সার্কিট সরলীকরণের প্রধান সুবিধাগুলো হলো:
১. সার্কিটে লজিক গেটের সংখ্যা কমে যায়, ফলে সার্কিটের আকার ছোট হয়।
২. সার্কিট তৈরি করতে খরচ কম হয়।
৩. সিগন্যাল প্রোপাগেশন ডিলে (Delay) কমে যায়, ফলে সার্কিট দ্রুত কাজ করে।
৪. পাওয়ার বা বিদ্যুৎ খরচ কম হয়।

(গ) উদ্দীপকের ফাংশনটি হলো: $F = ABC + AB'C + ABC'$

সরলীকরণ:
$F = AC(B + B') + ABC'$ [প্রথম ও দ্বিতীয় পদ থেকে $AC$ কমন নিয়ে]
$= AC(1) + ABC'$ [যেহেতু $B + B' = 1$]
$= AC + ABC'$
$= A(C + BC')$ [$A$ কমন নিয়ে]
$= A(C + B)(C + C')$ [বিভাজন উপপাদ্য বা সহায়ক উপপাদ্য অনুযায়ী $A + BC = (A+B)(A+C)$]
$= A(B + C)(1)$ [যেহেতু $C + C' = 1$]
$= A(B + C)$
$= AB + AC$

নির্ণেয় সরলীকৃত মান: $A(B + C)$ অথবা $AB + AC$।

(ঘ)
মূল ফাংশনের সার্কিট:
মূল ফাংশন $F = ABC + AB'C + ABC'$ বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজন:
- ৩টি ৩-ইনপুট বিশিষ্ট AND গেট।
- ১টি ৩-ইনপুট বিশিষ্ট OR গেট।
- ২-৩টি NOT গেট (B এবং C কে ইনভার্ট করার জন্য)।
মোট গেট সংখ্যা প্রায় ৬-৭টি। এটি একটি জটিল সার্কিট।

সরলীকৃত ফাংশনের সার্কিট:
সরলীকৃত ফাংশন $F = A(B + C)$ বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজন:
- ১টি ২-ইনপুট বিশিষ্ট OR গেট ($B+C$ এর জন্য)।
- ১টি ২-ইনপুট বিশিষ্ট AND গেট ($A$ এবং $(B+C)$ গুণ করার জন্য)।
মোট গেট সংখ্যা মাত্র ২টি।

বিশ্লেষণ:
দেখা যাচ্ছে, সরলীকরণের ফলে সার্কিটের গেট সংখ্যা ৭টি থেকে কমে মাত্র ২টিতে নেমে এসেছে। এতে সার্কিটের জটিলতা, খরচ এবং জায়গা উভয়ই সাশ্রয় হবে। সুতরাং, শিক্ষকের কথাটি যথার্থ যে সরলীকরণ করলে গেটের সংখ্যা উল্লেখযোগ্যভাবে কমে যায়।

---

সৃজনশীল প্রশ্ন ২

নিচের লজিক সার্কিটটি লক্ষ্য কর:

ক) ক্যানোনিক্যাল ফর্ম কী?
খ) $A + A'B = A + B$ সূত্রটি প্রমাণ কর।
গ) উদ্দীপকের সার্কিটটির আউটপুট সমীকরণ নির্ণয় করে সরল কর।
ঘ) প্রাপ্ত সরলীকৃত সমীকরণটি শুধুমাত্র NAND গেট দিয়ে বাস্তবায়ন সম্ভব কি না? যাচাইপূর্বক চিত্র আঁক।

উত্তর

(ক) বুলিয়ান ফাংশনকে যখন মিনটার্মের যোগফল (Sum of Minterms) বা ম্যাক্সটার্মের গুণফল (Product of Maxterms) আকারে প্রকাশ করা হয়, তখন তাকে ক্যানোনিক্যাল ফর্ম বলে।

(খ) প্রমাণ:
বামপক্ষ = $A + A'B$
$= (A + A')(A + B)$ [বিভাজন উপপাদ্য ব্যবহার করে, $X + YZ = (X+Y)(X+Z)$]
$= 1 \cdot (A + B)$ [বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ মতে, $A + A' = 1$]
$= A + B$
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(গ) উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই:
ইনপুট: $A, B$
১. উপরের পথে $A$ থেকে একটি সংযোগ নট (NOT) গেটে গেছে, যার আউটপুট $A'$।
২. এরপর $A'$ এবং $B$ একটি AND গেটে প্রবেশ করেছে, যার আউটপুট $A'B$।
৩. নিচের পথে সরাসরি $A$ এবং উপরের AND গেটের আউটপুট ($A'B$) একটি OR গেটে প্রবেশ করেছে।

সুতরাং, সার্কিটটির আউটপুট সমীকরণ: $Y = A + A'B$

সরলীকরণ:
$Y = A + A'B$
$= (A + A')(A + B)$
$= 1 \cdot (A + B)$
$= A + B$

নির্ণেয় সরলীকৃত সমীকরণ: $Y = A + B$

(ঘ) 'গ' হতে প্রাপ্ত সরলীকৃত সমীকরণটি হলো $Y = A + B$, যা একটি OR অপারেশন নির্দেশ করে। আমরা জানি, NAND গেট একটি ইউনিভার্সাল বা সার্বজনীন গেট, তাই শুধুমাত্র NAND গেট ব্যবহার করে যেকোনো লজিক ফাংশন (যেমন OR অপারেশন) বাস্তবায়ন সম্ভব।

NAND গেট দিয়ে $Y = A + B$ বাস্তবায়ন:
ডি মর্গানের উপপাদ্য অনুযায়ী, $A + B = ((A + B)')' = (A' \cdot B')'$।

বাস্তবায়ন প্রক্রিয়া:
১. প্রথমে $A$ ইনপুটকে একটি NAND গেটের উভয় ইনপুটে দিয়ে $A'$ তৈরি করতে হবে। [চিত্র: $A \to \text{NAND} \to A'$]
২. একইভাবে $B$ ইনপুটকে একটি NAND গেটের উভয় ইনপুটে দিয়ে $B'$ তৈরি করতে হবে। [চিত্র: $B \to \text{NAND} \to B'$]
৩. এরপর $A'$ এবং $B'$ কে তৃতীয় একটি NAND গেটের ইনপুট হিসেবে দিলে আউটপুট হবে $(A' \cdot B')'$।
৪. আমরা জানি, $(A' \cdot B')' = (A')' + (B')' = A + B$।

সুতরাং, ৩টি NAND গেট ব্যবহার করে উদ্দীপকের সরলীকৃত বর্তনীটি বাস্তবায়ন করা সম্ভব।

(দ্রষ্টব্য: পরীক্ষক খাতা মূল্যায়নের সময় ৩টি ন্যানড গেট দিয়ে আঁকা সঠিক চিত্রটি যাচাই করবেন।)

এমসিকিউ

১। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় $A + 1$ এর মান কোনটি?

ক) $A$
খ) $0$
গ) $1$
ঘ) $A'$

সঠিক উত্তর: গ) $1$

ব্যাখ্যা: বুলিয়ান উপপাদ্য অনুযায়ী, OR অপারেশনের ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ইনপুট ১ হলে আউটপুট ১ হয়। তাই $A$ এর মান ০ বা ১ যাই হোক না কেন, $A+1$ সর্বদা ১ হবে।

---

২। $A(A + B)$ সরল করলে কোনটি পাওয়া যায়?

ক) $A$
খ) $B$
গ) $AB$
ঘ) $A + B$

সঠিক উত্তর: ক) $A$

ব্যাখ্যা: $A(A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + AB = A(1 + B) = A \cdot 1 = A$। একে শোষণ উপপাদ্য (Absorption Law) বলা হয়।

---

৩। ডি মর্গানের ২য় উপপাদ্য কোনটি?

ক) $(A + B)' = A' + B'$
খ) $(AB)' = A' + B'$
গ) $(A + B)' = A' \cdot B'$
ঘ) $(AB)' = A' \cdot B'$

সঠিক উত্তর: খ) $(AB)' = A' + B'$

ব্যাখ্যা: ডি মর্গানের দুটি উপপাদ্য হলো: ১. $(A + B)' = A' \cdot B'$ এবং ২. $(AB)' = A' + B'$।

---

৪। $X = A \oplus B$ হলে, এর সরলীকৃত মান কোনটি?

ক) $AB + A'B'$
খ) $A'B + AB'$
গ) $(A + B)(A' + B')$
ঘ) $A'B'$

সঠিক উত্তর: খ) $A'B + AB'$

ব্যাখ্যা: XOR গেটের আউটপুট সমীকরণ হলো $A \oplus B = A'B + AB'$।

---

৫। $A + A'$ এর মান কত?

ক) $0$
খ) $1$
গ) $A$
ঘ) $2A$

সঠিক উত্তর: খ) $1$

ব্যাখ্যা: বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কোনো চলক এবং তার পূরকের যোগফল সর্বদা ১ হয়। যদি $A=0$ হয়, $A'=1$ (যোগফল ১)। যদি $A=1$ হয়, $A'=0$ (যোগফল ১)।

---

৬। $Y = (A + B)(A + C)$ সমীকরণটি সরল করলে কী পাওয়া যায়?

ক) $A + BC$
খ) $AB + C$
গ) $AC + B$
ঘ) $A + B + C$

সঠিক উত্তর: ক) $A + BC$

ব্যাখ্যা: বিভাজন উপপাদ্য অনুযায়ী, $(A + B)(A + C) = A \cdot A + AC + AB + BC = A + A(C + B) + BC = A(1 + C + B) + BC = A \cdot 1 + BC = A + BC$।

---

৭। $F = A'B + ABC' + ABC$ ফাংশনটির সরল মান কোনটি?

ক) $A + B$
খ) $AB + C$
গ) $B(A + C)$
ঘ) $B$

সঠিক উত্তর: ক) $A + B$

ব্যাখ্যা:
$F = A'B + AB(C' + C)$
$= A'B + AB(1)$
$= A'B + AB$
$= B(A' + A)$
$= B \cdot 1 = B$
(Wait, let me recheck calculation in explanation. $A'B + ABC' + ABC = A'B + AB(C'+C) = A'B + AB = B(A'+A) = B$.
কিন্তু অপশনে 'B' আছে। প্রশ্নকর্তা হয়তো ভুল অপশন সেট করতে পারেন, তবে সঠিক উত্তর 'B'।
Let's check alternative grouping: $ABC + ABC' = AB$. $A'B + AB = B$.
সঠিক উত্তর ঘ) B।

(Note: I will assume option ক is A+B in a typical exam trap, but calculation shows B. I will correct the option key to 'ঘ'.)

সঠিক উত্তর: ঘ) $B$

ব্যাখ্যা: $F = A'B + AB(C' + C) = A'B + AB \cdot 1 = B(A' + A) = B \cdot 1 = B$।

---

৮। $(A + B)' \cdot (A' + B')'$ এর মান কত?

ক) $0$
খ) $1$
গ) $AB$
ঘ) $A'B'$

সঠিক উত্তর: ক) $0$

ব্যাখ্যা:
প্রথম অংশ: $(A + B)' = A'B'$
দ্বিতীয় অংশ: $(A' + B')' = (A')' \cdot (B')' = AB$
গুণফল: $A'B' \cdot AB = (A'A) \cdot (B'B) = 0 \cdot 0 = 0$।

---

৯। $A + \bar{A}B$ সমীকরণটি কোন গেট নির্দেশ করে?

ক) AND
খ) OR
গ) NAND
ঘ) XOR

সঠিক উত্তর: খ) OR

ব্যাখ্যা: $A + \bar{A}B = (A + \bar{A})(A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B$, যা OR গেটের সমীকরণ।

---

১০। নিচের কোনটি ইউনিভার্সাল গেট?

ক) AND
খ) OR
গ) NOR
ঘ) XOR

সঠিক উত্তর: গ) NOR

ব্যাখ্যা: NAND এবং NOR গেটকে ইউনিভার্সাল বা সার্বজনীন গেট বলা হয় কারণ এগুলো দিয়ে মৌলিক গেটসহ যেকোনো লজিক সার্কিট বাস্তবায়ন করা যায়।

---

নিচের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং ১১-১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

১১। উদ্দীপকের সার্কিটটির আউটপুট সমীকরণ $F$ এর মান কোনটি?

ক) $(AB)' + C$
খ) $(A + B)' \cdot C$
গ) $A'B' + C$
ঘ) $AB + C$

সঠিক উত্তর: ক) $(AB)' + C$

ব্যাখ্যা: চিত্রে $A$ ও $B$ একটি NAND গেটে প্রবেশ করেছে, যার আউটপুট $(AB)'$। এরপর এই আউটপুট এবং $C$ একটি OR গেটে প্রবেশ করেছে। তাই $F = (AB)' + C$।

---

১২। যদি $A=1, B=1$ এবং $C=0$ হয়, তবে $F$ এর মান কত হবে?

ক) ০
খ) ১
গ) ১০
ঘ) কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক) ০

ব্যাখ্যা: $F = (1 \cdot 1)' + 0 = (1)' + 0 = 0 + 0 = 0$।

---

১৩। উদ্দীপকের সার্কিটটিতে NAND গেটের পরিবর্তে AND গেট ব্যবহার করলে আউটপুট কী হবে?

ক) $AB + C$
খ) $AB \cdot C$
গ) $(A+B)C$
ঘ) $A+B+C$

সঠিক উত্তর: ক) $AB + C$

ব্যাখ্যা: প্রথম গেটটি AND হলে আউটপুট হতো $AB$। পরেরটি OR গেট থাকায় চূড়ান্ত আউটপুট হতো $AB + C$।

---

১৪। $Y = AB + \bar{A}B$ সমীকরণটি কোন সার্কিট নির্দেশ করে?

ক) (শুধু B লাইন)
খ) AND গেট
গ) OR গেট
ঘ) NOT গেট

সঠিক উত্তর: ক) (শুধু B লাইন)

ব্যাখ্যা: $Y = AB + \bar{A}B = B(A + \bar{A}) = B \cdot 1 = B$। অর্থাৎ এটি ইনপুট $B$ এর সমান, যা বাফার বা শর্ট সার্কিটের মতো আচরণ করে।

---

১৫। লজিক ফাংশন $F = x y z + x y \bar{z}$ এর জন্য কয়টি AND গেট প্রয়োজন (সরলীকরণের আগে)?

ক) ১টি
খ) ২টি
গ) ৩টি
ঘ) ৪টি

সঠিক উত্তর: খ) ২টি

ব্যাখ্যা: সমীকরণে দুটি গুণফলের টার্ম আছে ($xyz$ এবং $xy\bar{z}$), তাই সরলীকরণের আগে দুটি ৩-ইনপুট বিশিষ্ট AND গেট প্রয়োজন।

---

১৬। SOP (Sum of Products) মেথডে $Y = \sum(0, 3)$ হলে, ২ চলকের জন্য সমীকরণটি কী?

ক) $A'B' + AB$
খ) $A'B + AB'$
গ) $A + B$
ঘ) $AB$

সঠিক উত্তর: ক) $A'B' + AB$

ব্যাখ্যা: ২ চলকের ক্ষেত্রে:
০ (00) $\rightarrow A'B'$
৩ (11) $\rightarrow AB$
সুতরাং $\sum(0, 3) = A'B' + AB$। (এটি XNOR গেটের সমীকরণ)।

---

১৭। মিনটার্ম $m_5$ (তিন চলকের ক্ষেত্রে) কোনটি?

ক) $A B' C$
খ) $A B C'$
গ) $A' B C'$
ঘ) $A B' C'$

সঠিক উত্তর: ক) $A B' C$

ব্যাখ্যা: ৫ এর বাইনারি ১০১। তিন চলক A, B, C হলে ১০১ মানে $A=1, B=0, C=1$। মিনটার্মে ১ হলে ভেরিয়েবল এবং ০ হলে ভেরিয়েবল বার হয়। তাই $A B' C$।

---

১৮। $n$ সংখ্যক চলকের জন্য ম্যাক্সটার্মের সংখ্যা কত হতে পারে?

ক) $n$
খ) $2n$
গ) $2^n$
ঘ) $n^2$

সঠিক উত্তর: গ) $2^n$

ব্যাখ্যা: $n$ সংখ্যক ইনপুট চলকের জন্য সম্ভাব্য কম্বিনেশন $2^n$ টি, তাই মিনটার্ম বা ম্যাক্সটার্মের সংখ্যাও $2^n$ হবে।

---

১৯। নিচের সত্যক সারণিটি লক্ষ্য কর:

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

এটি কোন গেটের সত্যক সারণি?

ক) AND
খ) OR
গ) NAND
ঘ) XOR

সঠিক উত্তর: খ) OR

ব্যাখ্যা: ইনপুটগুলোর মধ্যে যেকোনো একটি ১ হলেই আউটপুট ১ হচ্ছে, যা OR গেটের বৈশিষ্ট্য। শুধুমাত্র সব ইনপুট ০ হলে আউটপুট ০।

---

২০। সত্যক সারণিতে ইনপুট $n=3$ হলে কতটি রো (Row) হবে?

ক) ৪
খ) ৬
গ) ৮
ঘ) ৯

সঠিক উত্তর: গ) ৮

ব্যাখ্যা: সত্যক সারণির রো সংখ্যা সূত্র হলো $2^n$। এখানে $n=3$, তাই $2^3 = 8$।

---

২১। $A \oplus B = ?$
i. $A'B + AB'$
ii. $(A + B)(A' + B')$
iii. $(AB' + A'B)'$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

ব্যাখ্যা: i হলো XOR এর সরাসরি সূত্র। ii সরল করলে: $AA' + AB' + BA' + BB' = 0 + AB' + A'B + 0 = A'B + AB'$, যা সঠিক। iii হলো XNOR এর সূত্র।

---

২২। লজিক সার্কিট ডিজাইনে NAND গেট ব্যবহারের সুবিধা কী?
i. যেকোনো গেট তৈরি করা যায়
ii. আইসি (IC) সহজলভ্য
iii. খরচ কম হয়

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা: NAND একটি ইউনিভার্সাল গেট, তাই এটি দিয়ে সব গেট বানানো যায়। এর আইসি সস্তা এবং বহুল ব্যবহৃত।

---

২৩। $A(A + 1) + A$ এর সরল মান কোনটি?

ক) $2A$
খ) $1$
গ) $A$
ঘ) $0$

সঠিক উত্তর: গ) $A$

ব্যাখ্যা: $A(1) + A = A + A = A$। (যেহেতু $A+1=1$ এবং $A+A=A$)।

---

২৪। চিত্রভিত্তিক প্রশ্ন: একটি গেটের ইনপুট A ও B, আউটপুট $Y$। যদি $A=1, B=1$ এ $Y=0$ হয় এবং বাকি সব ক্ষেত্রে $Y=1$ হয়, তবে গেটটি কী?

ক) AND
খ) OR
গ) NAND
ঘ) NOR

সঠিক উত্তর: গ) NAND

ব্যাখ্যা: NAND গেট হলো AND এর বিপরীত। AND গেটে শুধু সব ইনপুট ১ হলে আউটপুট ১ হয়। NAND গেটে সব ইনপুট ১ হলে আউটপুট ০ হয়, বাকি সব ক্ষেত্রে ১।

---

২৫। ডিজিটাল ডিভাইসে লজিক ফাংশন সরলীকরণের জন্য কোনটি ব্যবহৃত হয়?
i. বুলিয়ান উপপাদ্য
ii. কার্নু ম্যাপ (K-Map)
iii. এনকোডার

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

ব্যাখ্যা: লজিক ফাংশন সরলীকরণের জন্য বুলিয়ান অ্যালজেবরা এবং কার্নু ম্যাপ (K-Map) ব্যবহৃত হয়। এনকোডার হলো একটি কম্বিনেশনাল সার্কিট, এটি সরলীকরণের পদ্ধতি নয়।

---