নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত বইয়ের চৌদ্দটি অধ্যায় থেকে সাজানো তিনটি সম্পূর্ণ প্রশ্নপত্র এই পাতায় আছে, যাতে SSC Higher Math CQ অংশের জন্য বাড়িতে বসেই আসল পরীক্ষার মতো মহড়া দেওয়া যায়। প্রতিটি সেটে তিন বিভাগে মোট এগারোটি প্রশ্ন: বীজগণিতে তিনটি, জ্যামিতি ও ভেক্টরে চারটি, ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাবনায় চারটি। প্রত্যেক বিভাগ থেকে অন্তত একটি রেখে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর লিখতে হবে, সময় আড়াই ঘণ্টা।
সংখ্যাগুলো এমনভাবে বাছাই করা হয়েছে যে ঠিক পদ্ধতিতে এগোলে উত্তর পূর্ণসংখ্যা, সরল ভগ্নাংশ বা $\pi$ ও করণীর সহজ রূপে আসে। জ্যামিতি ও অঙ্কনের প্রশ্নে পরিষ্কার চিত্র আঁকা নম্বরের অংশ, তাই পেনসিল, কম্পাস আর স্কেল হাতের কাছে রেখো। ক্যালকুলেটর লাগবে কেবল লগ বা রেডিয়ান রূপান্তরের কয়েকটি হিসাবে।
সৃজনশীল প্রশ্ন: ৩টি পূর্ণাঙ্গ সেট
ট্যাব থেকে একটি সেট খোলো, ঘড়িতে আড়াই ঘণ্টা ধরো এবং তিন বিভাগ মিলিয়ে পাঁচটি প্রশ্ন বেছে নাও।
ক-বিভাগ: বীজগণিত
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে একটি করে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
$A = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ এবং $f : A \to \mathbb{R}$ ফাংশনটি $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
- ক.(ক) $f(-2)$ এবং $f^{-1}(\{3\})$ নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) দেখাও যে $f$ একটি এক-এক ফাংশন এবং $f^{-1}(x)$ নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $f$ এর রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখাও যে $f : A \to \mathbb{R}$ সার্বিক (onto) নয়। $B = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ নিলে $f : A \to B$ সার্বিক কি না যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ একটি বহুপদী।
- ক.(ক) ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে $P(x)$ কে $(x - 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) উৎপাদক উপপাদ্যের সাহায্যে $P(x)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।৪
- গ.(গ) $\dfrac{x^2 + 11}{P(x)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
দুটি দ্বিপদী রাশি $E_1 = \left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^6$ এবং $E_2 = (1 + px)^n$, যেখানে $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। $E_2$ এর বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ $1 + 12x + 60x^2$।
- ক.(ক) প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে $(1 - y)^5$ এর বিস্তৃতি লেখো।২
- খ.(খ) $E_1$ এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ লেখো এবং $x$ বর্জিত পদটি নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $n$ ও $p$ এর মান নির্ণয় করো এবং $E_2$ এর বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ নির্ণয় করো।৪
খ-বিভাগ: জ্যামিতি, ভেক্টর ও সম্পর্ক
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
$\triangle ABC$ এ $AB = 7$ সেমি, $BC = 8$ সেমি এবং $AC = 9$ সেমি। $AD$, $BE$ ও $CF$ তিনটি মধ্যমা, যেখানে $D$, $E$, $F$ যথাক্রমে $BC$, $CA$, $AB$ এর মধ্যবিন্দু এবং মধ্যমাগুলো $G$ বিন্দুতে ছেদ করে।
- ক.(ক) বাহুর দৈর্ঘ্য তুলনা করে দেখাও যে $\triangle ABC$ একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।২
- খ.(খ) অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে $AD$ এবং $AG$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) প্রমাণ করো যে, যেকোনো ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর বর্গের সমষ্টির চারগুণ বাহুগুলোর বর্গের সমষ্টির তিনগুণের সমান, অর্থাৎ $4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + CA^2)$। উদ্দীপকের ত্রিভুজের জন্য সম্পর্কটি যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
কার্তেসীয় সমতলে তিনটি বিন্দু $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ এবং $C(8, 3)$।
- ক.(ক) $AB$ ও $BC$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) দেখাও যে $ABC$ একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং স্থানাঙ্কের সাহায্যে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $ABCD$ একটি বর্গক্ষেত্র হলে $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। $BD$ কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় করো এবং ঢালের সাহায্যে দেখাও যে কর্ণ দুটি পরস্পর লম্ব।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
$ABCD$ একটি চতুর্ভুজ (সামান্তরিক হওয়া আবশ্যক নয়)। $P$, $Q$, $R$, $S$ যথাক্রমে $AB$, $BC$, $CD$ ও $DA$ বাহুর মধ্যবিন্দু।
- ক.(ক) দেখাও যে $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$।২
- খ.(খ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে $\overrightarrow{PQ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$।৪
- গ.(গ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে $PQRS$ একটি সামান্তরিক।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য $12$ সেমি, প্রস্থ $9$ সেমি এবং উচ্চতা $8$ সেমি। একটি খেলনা একটি অর্ধগোলকের উপর একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক বসিয়ে তৈরি; অর্ধগোলক ও কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ একই, $6$ সেমি, এবং কোণকের উচ্চতা $8$ সেমি।
- ক.(ক) আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) খেলনাটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন $\pi$ এর মাধ্যমে নির্ণয় করো এবং আয়তাকার ঘনবস্তুটির আয়তন খেলনাটির আয়তনের চেয়ে কত বেশি তা নির্ণয় করো।৪
গ-বিভাগ: ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাবনা
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
একটি সাইকেলের চাকার ব্যাস $70$ সেমি এবং চাকাটি প্রতি মিনিটে $150$ বার ঘোরে। একটি দেয়ালঘড়ির মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য $7$ সেমি। ($\pi = \dfrac{22}{7}$ ধরো।)
- ক.(ক) $67^\circ 30'$ কোণকে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।২
- খ.(খ) সাইকেলটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) ঘড়িতে ৪টা বেজে ২০ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার অন্তর্গত কোণ রেডিয়ানে নির্ণয় করো। ২০ মিনিটে মিনিটের কাঁটার অগ্রভাগ কত দূরত্ব অতিক্রম করে এবং কাঁটাটি কত ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে তাও নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৯
$\tan\theta = -\dfrac{5}{12}$ এবং $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$।
- ক.(ক) $\sec\theta$ এর মান নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $\dfrac{\sin\theta + \cos(-\theta)}{\sec(-\theta) + \tan\theta}$ এর মান নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) প্রমাণ করো যে $\dfrac{\tan\theta + \sec\theta - 1}{\tan\theta - \sec\theta + 1} = \dfrac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$। উদ্দীপকের $\theta$ এর জন্য উভয় পক্ষের মান নির্ণয় করে অভেদটি যাচাই করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ১০
দৃশ্যকল্প-১: $\sin\dfrac{7\pi}{3}\cos\dfrac{13\pi}{6} - \cos\dfrac{5\pi}{3}\sin\dfrac{11\pi}{6}$ দৃশ্যকল্প-২: $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 3\cos\theta$
- ক.(ক) $\sin\dfrac{31\pi}{6}$ এর মান নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) দেখাও যে দৃশ্যকল্প-১ এর রাশিটির মান $1$।৪
- গ.(গ) $f(\theta) = 3$ হলে $0 \le \theta \le 2\pi$ ব্যবধিতে $\theta$ এর মান নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ১১
দৃশ্যকল্প-১: একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা পরপর তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। দৃশ্যকল্প-২: একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একসাথে একবার নিক্ষেপ করা হলো।
- ক.(ক) দৃশ্যকল্প-১ এর নমুনাক্ষেত্র লেখো।২
- খ.(খ) দৃশ্যকল্প-১ এর সম্ভাব্যতা গাছ (probability tree) আঁকো এবং কমপক্ষে দুটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) দৃশ্যকল্প-২ এর নমুনাক্ষেত্র লেখো এবং (i) হেড ও একটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার, (ii) টেল অথবা ৬ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৪
ক-বিভাগ: বীজগণিত
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে একটি করে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
একটি শ্রেণির $60$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে $35$ জন ফুটবল, $28$ জন ক্রিকেট এবং $20$ জন ব্যাডমিন্টন খেলে। ফুটবল ও ক্রিকেট উভয়টি খেলে $12$ জন, ক্রিকেট ও ব্যাডমিন্টন উভয়টি খেলে $8$ জন, ফুটবল ও ব্যাডমিন্টন উভয়টি খেলে $10$ জন এবং তিনটি খেলাই খেলে $5$ জন। এছাড়া $M = \{x \in \mathbb{N} : 2 < x \le 5\}$।
- ক.(ক) $M$ সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে $P(M)$ নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) ভেনচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় করো কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না।৪
- গ.(গ) কতজন শিক্ষার্থী কেবল একটি খেলা খেলে এবং কতজন ঠিক দুটি খেলা খেলে, নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
দৃশ্যকল্প-১: $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x - 1} = 2$ দৃশ্যকল্প-২: $x^2 + xy + y^2 = 37$ এবং $x - y = 1$ দৃশ্যকল্প-৩: $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 = 0$
- ক.(ক) দৃশ্যকল্প-৩ এর সমীকরণে $2^x = a$ বসিয়ে $a$ এর দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করো এবং $x$ এর মান নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটি সমাধান করো এবং শুদ্ধি পরীক্ষা করো।৪
- গ.(গ) দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণজোট সমাধান করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
একটি অসীম ধারা $1 + \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2} + \dfrac{1}{(x + 1)^3} + \cdots$ এবং একটি পৌনঃপুনিক দশমিক $2.3\dot{4}\dot{5}$।
- ক.(ক) ধারাটির সাধারণ অনুপাত লেখো এবং $x = 1$ হলে প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $x$ এর কোন মানগুলোর জন্য ধারাটির অসীমতক যোগফল থাকবে তা নির্ণয় করো এবং যোগফলটি $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।৪
- গ.(গ) ধারাটির অসীমতক যোগফল $\dfrac{5}{4}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় করো। অসীম গুণোত্তর ধারার সাহায্যে উদ্দীপকের পৌনঃপুনিক দশমিকটিকে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।৪
খ-বিভাগ: জ্যামিতি, ভেক্টর ও সম্পর্ক
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
$ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যার $AB = 25$ সেমি, $BC = 60$ সেমি, $CD = 52$ সেমি এবং $DA = 39$ সেমি। $AC$ ও $BD$ চতুর্ভুজটির দুটি কর্ণ।
- ক.(ক) দেখাও যে $\triangle ABC$ সমকোণী এবং $AC$ বৃত্তটির একটি ব্যাস।২
- খ.(খ) ব্রহ্মগুপ্তের সূত্র প্রয়োগ করে চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো এবং $\triangle ABC$ ও $\triangle ACD$ এর ক্ষেত্রফলের যোগফলের সাথে মিলিয়ে দেখাও।৪
- গ.(গ) টলেমির উপপাদ্যটি বিবৃত ও প্রমাণ করো এবং এর সাহায্যে কর্ণ $BD$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি ত্রিভুজের ভূমি $a = 6$ সেমি এবং শিরঃকোণ $\angle x = 60^\circ$। দুটি রেখাংশ $b = 10$ সেমি এবং $c = 2$ সেমি দেওয়া আছে।
- ক.(ক) $a$ বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো এবং এর একটি মধ্যমা চিহ্নিত করো।২
- খ.(খ) ভূমি $a$, শিরঃকোণ $\angle x$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $b$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের বিবরণ আবশ্যক)৪
- গ.(গ) ভূমি $a$, শিরঃকোণ $\angle x$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $c$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করো এবং অঙ্কনের যথার্থতা প্রমাণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
সমতলে দুটি বিন্দু $A(-1, 3)$ ও $B(3, 1)$। $C$ বিন্দুটি $AB$ রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত।
- ক.(ক) $AB$ রেখার ঢাল নির্ণয় করো এবং রেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সূক্ষ্মকোণ না স্থূলকোণ উৎপন্ন করে তা লেখো।২
- খ.(খ) $AB$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করো এবং রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $AB$ এর লম্বদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করো। $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $10$ বর্গ একক হলে $C$ বিন্দুর সম্ভাব্য স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
একটি সুষম বর্গাকার পিরামিডের ভূমির প্রতি বাহু $10$ সেমি এবং উচ্চতা $12$ সেমি। পিরামিডটিকে $10$ সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ঘনকের উপরের তলে এমনভাবে বসানো হলো যে পিরামিডের ভূমি ঘনকের তলের সাথে সম্পূর্ণ মিলে যায়।
- ক.(ক) পিরামিডটির হেলানো উচ্চতা (slant height) নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) পিরামিডটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) পিরামিড ও ঘনক মিলে গঠিত যৌগিক ঘনবস্তুটির আয়তন এবং বাইরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।৪
গ-বিভাগ: ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাবনা
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
দৃশ্যকল্প-১: একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর প্রগমনে আছে এবং বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ। দৃশ্যকল্প-২: $5\cos\theta + 4 = 0$ এবং $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$।
- ক.(ক) $1$ রেডিয়ান কোণকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করো।২
- খ.(খ) দৃশ্যকল্প-১ এর ত্রিভুজের কোণ তিনটি রেডিয়ানে নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) দৃশ্যকল্প-২ থেকে $\dfrac{\tan\theta - \sec\theta}{\cot\theta + \csc\theta}$ এর মান নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৯
$f(\theta) = \sin\theta + \cos\theta$ এবং $g(\theta) = \sin\theta - \cos\theta$।
- ক.(ক) $\tan\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)$ এর মান নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $f(\theta) = \sqrt{2}\cos\theta$ হলে দেখাও যে $g(\theta) = -\sqrt{2}\sin\theta$।৪
- গ.(গ) $f(\theta) = 1$ হলে $0 \le \theta \le 2\pi$ ব্যবধিতে সমীকরণটি সমাধান করো এবং বর্গ করার ফলে আসা অবাস্তর মূলগুলো কেন বাদ দিতে হয় তা ব্যাখ্যা করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ১০
একটি ছক্কা $300$ বার নিক্ষেপ করে নিচের ফলাফল পাওয়া গেল:
| ছক্কার সংখ্যা | ১ | ২ | ৩ | ৪ | ৫ | ৬ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| কতবার এসেছে | ৪৮ | ৫২ | ৪৫ | ৫৫ | ৫০ | ৫০ |
- ক.(ক) সারণির তথ্য থেকে ছক্কায় ৪ আসার পরিসংখ্যানভিত্তিক সম্ভাবনা নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) সারণি থেকে জোড় সংখ্যা আসার পরিসংখ্যানভিত্তিক সম্ভাবনা নির্ণয় করো এবং যুক্তিভিত্তিক (তাত্ত্বিক) সম্ভাবনার সাথে তুলনা করো।৪
- গ.(গ) দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে (i) সংখ্যা দুটির যোগফল $8$, (ii) যোগফল কমপক্ষে $10$, (iii) উভয় ছক্কায় একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ১১
একটি বাক্সে $1$ থেকে $20$ পর্যন্ত নম্বরযুক্ত একই রকম $20$টি কার্ড আছে। দৈবচয়নে কার্ড তোলা হচ্ছে।
- ক.(ক) একটি কার্ড তুললে সেটি মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) একটি কার্ড তুললে সেটি $3$ অথবা $5$ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) একটির পর একটি করে দুটি কার্ড তোলা হলো। প্রথম কার্ডটি ফেরত রাখলে এবং না রাখলে উভয় কার্ড জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা সম্ভাব্যতা গাছের সাহায্যে নির্ণয় করে তুলনা করো।৪
ক-বিভাগ: বীজগণিত
ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রত্যেক বিভাগ থেকে কমপক্ষে একটি করে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।
সৃজনশীল প্রশ্ন ১
$a + b + c = 6$, $a^2 + b^2 + c^2 = 14$ এবং $abc = 6$। আরও দেওয়া আছে $E = a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$।
- ক.(ক) $ab + bc + ca$ এর মান নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ এর সূত্র ব্যবহার করে $a^3 + b^3 + c^3$ এর মান নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) দেখাও যে $E$ একটি চক্রক্রমিক রাশি এবং $E$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ২
দৃশ্যকল্প-১: $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 3) = 4$ দৃশ্যকল্প-২: $f(x) = 2^x$, যেখানে $x \in \mathbb{R}$।
- ক.(ক) প্রমাণ করো যে $\log_{\sqrt{3}} 81 = 8$।২
- খ.(খ) দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটি সমাধান করো এবং কোন মূলটি গ্রহণযোগ্য নয় তা কারণসহ লেখো।৪
- গ.(গ) $-2 \le x \le 3$ ব্যবধিতে $f(x)$ এর লেখচিত্র আঁকো। $f$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো এবং $f^{-1}(x)$ নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
দৃশ্যকল্প-১: $\dfrac{x}{3} + 2 < \dfrac{2x - 1}{2}$ দৃশ্যকল্প-২: একজন দোকানি প্রতি প্যাকেট চাল $60$ টাকা এবং প্রতি প্যাকেট ডাল $100$ টাকা দরে কেনেন। তার কাছে $600$ টাকা আছে এবং দোকানে সর্বোচ্চ $8$টি প্যাকেট রাখার জায়গা আছে। তিনি $x$ প্যাকেট চাল ও $y$ প্যাকেট ডাল কেনেন।
- ক.(ক) দৃশ্যকল্প-১ এর অসমতাটি সমাধান করো এবং সমাধান সংখ্যারেখায় দেখাও।২
- খ.(খ) দৃশ্যকল্প-২ এর শর্তগুলো অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো। দোকানি $4$ প্যাকেট চাল কিনলে সর্বোচ্চ কত প্যাকেট ডাল কিনতে পারবেন?৪
- গ.(গ) দৃশ্যকল্প-২ এর অসমতাগুলোর লেখচিত্র এঁকে সমাধান অঞ্চল চিহ্নিত করো এবং অঞ্চলটির কৌণিক বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।৪
খ-বিভাগ: জ্যামিতি, ভেক্টর ও সম্পর্ক
সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
$\triangle ABC$ এ $\angle ACB$ স্থূলকোণ, $BC = 3$ সেমি, $AC = 5$ সেমি এবং $AB = 7$ সেমি। $A$ থেকে বর্ধিত $BC$ রেখার উপর $AD$ লম্ব, যা বর্ধিত $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
- ক.(ক) লম্ব অভিক্ষেপ কাকে বলে? উদ্দীপকের চিত্রে $BC$ রেখার উপর $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ চিহ্নিত করো।২
- খ.(খ) প্রমাণ করো যে $AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \, BC \cdot CD$।৪
- গ.(গ) $CD$ ও $AD$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। এরপর $\angle ACB$ এর মান এবং $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
$\triangle ABC$ এর $AD$, $BE$ ও $CF$ তিনটি মধ্যমা। কোনো মূলবিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে $A$, $B$, $C$ এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$।
- ক.(ক) অবস্থান ভেক্টর কী? দেখাও যে $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$।২
- খ.(খ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \vec{0}$।৪
- গ.(গ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে মধ্যমা তিনটি একই বিন্দুতে ছেদ করে এবং ছেদবিন্দুটি প্রতিটি মধ্যমাকে শীর্ষ থেকে $2 : 1$ অনুপাতে বিভক্ত করে। ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টরও নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬
তিনটি সরলরেখা $L_1 : x - 3y + 5 = 0$, $L_2 : x + y - 11 = 0$ এবং $L_3 : 3x - y - 1 = 0$। আরেকটি সরলরেখা $L_4 : kx + 2y - 6 = 0$।
- ক.(ক) $L_3$ রেখার ঢাল এবং $y$-অক্ষের ছেদক নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) $L_1$, $L_2$ ও $L_3$ রেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) $L_1$, $L_3$ ও $L_4$ সমবিন্দু হলে $k$ এর মান নির্ণয় করো। দেখাও যে খ অংশের ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭
দৃশ্যকল্প-১: একটি খাড়া প্রিজমের ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার বাহুগুলো $5$ সেমি, $12$ সেমি ও $13$ সেমি; প্রিজমটির উচ্চতা $10$ সেমি। দৃশ্যকল্প-২: $6$ সেমি ব্যাসার্ধের একটি নিরেট ধাতব গোলককে এর কেন্দ্র থেকে $4$ সেমি দূরে একটি সমতল ছেদ করে।
- ক.(ক) দৃশ্যকল্প-২ এ ছেদের ফলে উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) দৃশ্যকল্প-১ এর প্রিজমটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) গোলকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করো। গোলকটি গলিয়ে $2$ সেমি ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে এবং ছোট গোলকগুলোর মোট পৃষ্ঠতল মূল গোলকের পৃষ্ঠতলের কতগুণ, তা নির্ণয় করো।৪
গ-বিভাগ: ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাবনা
সৃজনশীল প্রশ্ন ৮
$50$ সেমি লম্বা একটি দোলক এক প্রান্ত থেকে অপর প্রান্তে যেতে $10$ সেমি দীর্ঘ একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করে। অন্যদিকে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6400$ কিমি ধরে একই দ্রাঘিমারেখায় অবস্থিত দুটি স্থান পৃথিবীর কেন্দ্রে $2^\circ 30'$ কোণ উৎপন্ন করে।
- ক.(ক) দোলকটি যে কোণে দোলে তা রেডিয়ানে নির্ণয় করো এবং কোণটিকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করো।২
- খ.(খ) স্থান দুটির মধ্যবর্তী চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। ($\pi = 3.1416$ ধরো)৪
- গ.(গ) প্রমাণ করো যে $r$ ব্যাসার্ধের বৃত্তে $\theta$ রেডিয়ান কেন্দ্রস্থ কোণ দ্বারা গঠিত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $\dfrac{1}{2}r^2\theta$। এর সাহায্যে দোলকটি একবার দুলতে যে ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে তা নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ৯
$\sec\theta + \tan\theta = \dfrac{5}{2}$, যেখানে $\theta$ একটি সূক্ষ্মকোণ।
- ক.(ক) প্রমাণ করো যে $(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$।২
- খ.(খ) উদ্দীপকের তথ্য থেকে $\sin\theta$ ও $\cos\theta$ এর মান নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) প্রমাণ করো যে $\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} + \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = 2\csc\theta$ এবং উদ্দীপকের $\theta$ এর জন্য রাশিটির মান নির্ণয় করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ১০
দৃশ্যকল্প-১: $\cot\dfrac{\pi}{20}\cot\dfrac{3\pi}{20}\cot\dfrac{5\pi}{20}\cot\dfrac{7\pi}{20}\cot\dfrac{9\pi}{20}$ দৃশ্যকল্প-২: $\tan^2\theta - (1 + \sqrt{3})\tan\theta + \sqrt{3} = 0$
- ক.(ক) $\cos\dfrac{19\pi}{3}$ এর মান নির্ণয় করো।২
- খ.(খ) দেখাও যে দৃশ্যকল্প-১ এর রাশিটির মান $1$।৪
- গ.(গ) $0 < \theta < 2\pi$ ব্যবধিতে দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটি সমাধান করো।৪
সৃজনশীল প্রশ্ন ১১
একটি থলিতে একই আকারের $6$টি সাদা ও $4$টি কালো মার্বেল আছে। থলি থেকে দৈবচয়নে মার্বেল তোলা হচ্ছে।
- ক.(ক) উদ্দীপকের আলোকে একটি নিশ্চিত ঘটনা ও একটি অসম্ভব ঘটনার উদাহরণ দাও এবং তাদের সম্ভাবনা লেখো।২
- খ.(খ) একটি মার্বেল তুললে সেটি কালো হওয়ার এবং সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৪
- গ.(গ) প্রথম মার্বেলটি ফেরত রেখে পরপর দুটি মার্বেল তোলা হলো। সম্ভাব্যতা গাছ এঁকে (i) দুটিই একই রঙের এবং (ii) কমপক্ষে একটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।৪
প্রস্তুতির কৌশল
- ক-বিভাগে মাত্র তিনটি প্রশ্ন থাকে, অথচ অধ্যায় সাতটি; তাই ফাংশন, আংশিক ভগ্নাংশ, দ্বিপদী বিস্তৃতি আর লগারিদম, এই চারটিতে বিশেষ দখল রাখো, যাতে অন্তত একটি প্রশ্ন নিশ্চিতভাবে পারো।
- মূলদ ও লগারিদমীয় সমীকরণে উত্তর পাওয়ার পর মূলগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখো। বর্গ করা বা লগের সংজ্ঞার কারণে অবাস্তর মূল আসে, আর শুদ্ধি পরীক্ষা না লিখলে নম্বর কাটা যায়।
- জ্যামিতির উপপাদ্য (অ্যাপোলোনিয়াস, টলেমি, স্থূলকোণী ও সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বর্ধিত পিথাগোরাস) লেখার সময় চিত্র, বিশেষ নির্বচন ও প্রমাণের প্রতিটি ধাপের যুক্তি আলাদা করে লেখো।
- অঙ্কনের প্রশ্নে সংক্ষিপ্ত বিবরণ ও প্রমাণ দুটোই চাওয়া হয়; কম্পাসের দাগ মুছে ফেলো না, কারণ পরীক্ষক সেগুলো দেখেই অঙ্কনের পদ্ধতি বোঝেন।
- ত্রিকোণমিতিতে কোণটি কোন চতুর্ভাগে আছে আগে ঠিক করো, তারপর চিহ্ন বসাও। $\dfrac{n\pi}{2} \pm \theta$ এর নিয়মে $n$ জোড় না বিজোড় দেখে অনুপাত বদলাবে কি না ঠিক করো।
- সম্ভাবনার প্রশ্নে নমুনাক্ষেত্র বা সম্ভাব্যতা গাছ পুরোটা লেখো, তারপর অনুকূল ফলাফল গুনে ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে দাও।
আরও প্রশ্ন দরকার?
লেসনকিটস-এ শিক্ষক বা শিক্ষার্থী উচ্চতর গণিতের যেকোনো অধ্যায় বেছে এমন নতুন প্রশ্নপত্র তৈরি করতে পারেন, চাইলে উত্তরসহ, এবং ছাপিয়ে ক্লাসে বা বাড়িতে পরীক্ষা নিতে পারেন। এখনই প্রশ্ন তৈরি করুন
0 টি মন্তব্য
মন্তব্য করতে লগইন করুন।